Avaa päävalikko

Osittaisderivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta yhden muuttujansa suhteen annetulla muuttujan arvolla. Osittaisderivaatalla voidaan tutkia, mikä vaikutus yhden muuttujan muutoksella on funktion arvoon varioitavan muuttujan arvon ympäristössä. Sillä on sovelluksia tieteen, tekniikan ja talousteorian aloilla.[1][2]

JohdantoMuokkaa

MerkitseminenMuokkaa

Kuvaaja pinnasta z = x2 + xy + y2. Osittaisderivaattaa pisteessä (1, 1, 3) voidaan tarkastella x-akselin suuntaisella, kohdan y = 1 kautta kulkevalla ja pinnasta esiin leikatulla xz-tason suuntaisella tasolla (merkitty pystyviivoin).
Siinä tasossa olevien pisteiden koordinaatit ovat muotoa (x, 1, z) ja pinnasta leikatun käyrän tangentti pisteessä (1, 1, 3) on piirretty punaisella. Punaisen tangentin kulmakerroin kyseisellä tasolla on 3.

Yksinkertaisuuden vuoksi merkitään usean muuttujan funktiota  , jolloin muuttujan x suhteen otettua osittaisderivaatta merkitään esimerkiksi

  [2]

Osittaisderivoinnin symboli on   ja se esiintyy ensimmäisen kerran vuonna 1770 Nicolas de Condorcet'n kirjoituksissa, missä hän käytti osittaisderivaattaa. Nykymuodossaan olevia osittaisderivaatan merkintöjä käytti ensimmäisenä Adrien-Marie Legendre vuonna 1786. Hän hylkäsi ne myöhemmin, mutta Carl Gustav Jacob Jacobi otti sen uudelleen käyttöönsä vuonna 1841.[3]

EsimerkkiMuokkaa

Funktion   kuvaajaa (x,y,z)- koordinaatistossa (kuva vieressä) esittää yhtälö

 

Kuvaaja esittää kaksiulotteista pintaa kolmiulotteisessa tilassa ja pinnan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangenttisuoria äärettömän moneen suuntaan. Tangentit osoittavat pinnan jyrkkyyden eri suunnissa. Kun määritetään pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa, käytetään siihen tangenttia, joka on yhdensuuntainen xz-tason kanssa. Pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa saadaan selville osittaisderivaatalla muuttujan x suhteen

 

Jyrkkyys riippuu luonnollisesti vielä paikasta (x,y). Valitaan xy-tason pisteeksi (1,1) ja lasketaan osittaisderivaatta siinä kohdassa

 

Tangentti sivuaa pintaa   pisteessä, jossa z-koordinaatti on

 

eli koordinaattipisteessä (1,1,3). Näin on saatu viereisten kuvaajien mukainen tulos.

MääritelmäMuokkaa

Merkitään usean muuttujan arvoja vektoreilla  . Kun myös  , on funktio   reaaliarvoinen usean muuttujan funktio. Tavallisen reaalifunktion derivaatan tapaan osittaisderivaatta on määritelty erotusosamäärän raja-arvona muuttujan   suhteen, kun muut muuttujat kohdellaan derivoinnin ajan vakioina.[1][2]

Olkoon   pisteen   ympäristössä (avoin joukko), jossa funktio   on määritelty (ehkä lukunottamatta pisteessä  ). Funktion   osittaisderivaatta muuttujan   suhteen pisteessä   on määritelty seuraavasti erotusosamäärään raja-arvon avulla:

  [1][2]

Raja-arvo määritetään tämän jälkeen normaalisti funktion raja-arvona. Osittaisderivaattaa, joka on saatu vain kerran derivoimalla, kutsutaan myös ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaataksi.

OsittaisderivaattafunktiotMuokkaa

Osittaisderivaattafunktio on usean muuttujan funktiolauseke, jolla voi laskea funktion osittaisderivaatan arvon halutussa pisteessä. Osittaisderivaattafunktio on vastaava käsite kuin derivaattafunktio, mutta siinä derivoidaan lauseke vain yhden muuttujan suhteen muiden muuttujien jäädessä vakion asemaan.

EsimerkkiMuokkaa

Geometriassa ympyräpohjaisen kartion tilavuus V riippuu sen korkeudesta h ja pohjan säteestä r seuraavasti:

 

Se voidaan tulkita kahden muuttujan funktioksi  , jonka osittaisderivaattafunktio muuttujan r suhteen on

 .

Tämä kuvaa kartion tilavuuden muutosta pohjan säteen muuttuessa ja korkeuden pysyessä vakiona.

Osittaisderivaattafunktio, kun derivoidaan muuttujan h:n suhteen on

 

joka puolestaan kuvaa kartion tilavuuden muutosta korkeuden muuttuessa ja pohjan säteen pysyessä vakiona.

Useamman kertaluvun osittaisderivaatatMuokkaa

Kertaluvulla ilmaistaan osittaisderivointien lukumäärää. Kolmannen kertaluvun osittaisderivaatta saadaan osittaisderivoimalla funktio yhden muuttujan suhteen ja tämä derivaatta osittaisderivoidaan jonkun muuttujan suhteen ja tämä toiseen kertaan osittaisderivoitu lauseke osittaisderivoidaan kolmannen kerran yhden muuttujansa suhteen. Valitut muuttujat eivät vaikuta kertalukuun.

Toisen kertaluvun osittaisderivaatatMuokkaa

Toisen kertaluvun osittaisderivaatta voidaan määritellä luonnollisella tavalla derivoimalla useamman muuttujan funktio kahdesti joko saman muuttujan suhteen tai kahden eri muuttujan suhteen. Seuraavassa on muutama esimerkki derivoinnin järjestämiseksi ja osittaisderivaattojen merkitsemisistä. Jos usean muuttujan funktiota merkitään   (eli  ), niin siitä voidaan muodostaa seuraavanlaiset toisen kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen:[2]

 
 
 
 

Merkinnät   tarkoittavat, että ensin funktio derivoidaan muuttujan x suhteen ja derivoitu funktio derivoidaan sitten muuttujan y suhteen. Useimmiten osittaisderivaatat   ovat identtiset, mutta esimerkiksi epäjatkuvuudet voivat rikkoa symmetrisyyden.[2]

Yleinen merkintätapaMuokkaa

Kun derivoidaan useasti ja eri muuttujien suhteen, syntyy erilaisia osittaisderivaattoja. Esimerkiksi

 

on viidennen kertaluvun osittaisderivaatta. Jos derivointijärjestyksellä ei ole tällä kertaa merkitystä, voidaan esitys yksinkertaistaa

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. a b c Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c d e f Weisstein, Eric W.: Partial Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Miller, Jeff: Earliest Uses of Symbols of Calculus jeff560.tripod.com. 2004. Viitattu 26.9.2014.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa