Kahden muuttujan funktion gradientti ilmaistuna vektorikenttänä. Väri kuvaa funktion arvoa (isot punaisella, pienet sinisellä) ja vektorit gradienttia kussakin pisteessä.

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille . Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.[1]

Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään tai ja määritellään

,

missä ja -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien ja suhteen. Yleisen muuttujan funktion gradientti määritellään

,

missä on funktion muuttujien muodostama vektori

.

Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille .

Määritelmiä ja laskusääntöjäMuokkaa

DifferentiaaliMuokkaa

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

 ,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

 ,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaattaMuokkaa

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin   suuntaan on

 ,

missä   on  :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.[2]

KetjusääntöMuokkaa

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

 ,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

 ,

missä siis

 .

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissaMuokkaa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

 ,

sylinterikoordinaatistossa

 

sekä pallokoordinaatistossa

 .

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat  

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivatives”, Calculus: A Complete Course, s. 680. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.
  2. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivatives”, Calculus: A Complete Course, s. 681. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa