Avaa päävalikko

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka operoi skalaarifunktioita (kts. myös roottori ja divergenssi). Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään grad(f) tai ja määritellään

,

missä symboli luetaan ’nabla’ ja derivaatat ovat osittaisderivaattoja eri muuttujien suhteen. Tavallisen yhden muuttujan derivaattaoperaattorin analogia esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa on siis

.

Yleisen n muuttujan funktion gradientti määritellään

,

missä siis

.

Gradientti on derivaatan yleistys funktioille , ja seuraava askel funktioille on niin sanottu Jacobin matriisi. Gradientti on ”täysiverinen” vektori.selvennä Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.[1]

Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjäMuokkaa

DifferentiaaliMuokkaa

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

 ,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

 ,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaattaMuokkaa

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin   suuntaan on

 ,

missä   on  :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.[2]

KetjusääntöMuokkaa

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

 ,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

 ,

missä siis

 .

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissaMuokkaa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

 ,

sylinterikoordinaatistossa

 

sekä pallokoordinaatistossa

 .

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat  

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivatives”, Calculus: A Complete Course, s. 680. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.
  2. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivatives”, Calculus: A Complete Course, s. 681. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa