Avaa päävalikko
Napakoordinaatisto.

Napakoordinaatisto on kaksiulotteinen koordinaatisto, jossa jokainen piste on määritetty kiertokulman ja säteen funktiona. Napakoordinaatisto on käyttökelpoinen tilanteissa, joissa kahden pisteen välinen suhde on helpoiten määritettävissä kulman ja etäisyyden avulla - tavallisemmassa karteesisessa koordinaatistossa vastaava suhde voidaan määrittää trigonometrian keinoilla.

Säde mittaa pisteen etäisyyttä keskipisteestä, eli karteesisen koordinaatiston origoa vastaavasta navasta. Kiertokulma mittaa kulmaa pisteen ja napa-akselin välillä. Napa-akselia vastaava akseli karteesisessa koordinaatistossa on positiivinen -akseli.

Pisteiden piirtäminen napakoordinaatistossaMuokkaa

 
Pisteet (3,60°) ja (4,210°) napakulmakoordinaatistossa.

Jokainen napakoordinaatiston piste voidaan esittää kahdella napakoordinaatilla, jotka ovat   (etäisyys navasta) ja   (kiertokulma vastapäivään positiivisesta  -akselista).

Esimerkiksi napakoordinaatiston piste (3, 60°) voidaan piirtää kolmen yksikön päähän navasta 60° säteen kohdalle. Piste (−3, 240°) piirretään samaan pisteeseen, sillä negatiivinen säde vastaa 180 asteen kiertoa.

Napakoordinaatistossa voidaan yhdelle pisteelle antaa ääretön määrä eri koordinaatteja, koska navan ympäri voidaan tehdä kokonaisia kierroksia ilman, että pisteen sijainti muuttuu. Yleisesti piste   voidaan esittää muodossa   tai  , jossa   on mielivaltainen kokonaisluku.

Mielivaltaisia koordinaatteja   käytetään yleensä esittämään napaa, sillä  -koordinaatin arvosta huolimatta piste, jolle  , sijaitsee aina navassa. Kulmat voidaan napakulmakoordinaatistossa esittää vapaasti joko asteina tai radiaaneina, käyttäen muunnoskaavaa  . Valinta riippuu usein lähinnä asiayhteydestä, sillä esimerkiksi navigoinnissa käytetään usein asteita, kun taas monet fysiikan sovellukset ja lähes kaikki matemaattinen kirjallisuus käyttävät radiaaneja.

Karteesiset koordinaatitMuokkaa

 
Napakoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välistä suhdetta esittävä kuvaaja.

Napakoordinaatit   ja   voidaan muuntaa karteesisiksi koordinaateiksi   ja   käyttämällä trigonometrisiä funktioita sini ja kosini: [1]

 
 

Karteesiset koordinaatit   ja   voidaan muuntaa napakoordinaatiksi   Pythagoraan lauseella:

 

Kiertokulman   määrittämiseksi tulee ottaa huomioon seuraavat ehdot:

  • Kun  , kulma   voi olla mielivaltainen.
  • Kun  , kulma   valitaan yleensä välille  .

Kulman   saamiseksi väliltä   voidaan käyttää seuraavia kaavoja (funktiota   merkitään joskus  , lähinnä laskimissa)

 

Kulman   saamiseksi väliltä  , voidaan käyttää seuraavaa:

 

Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossaMuokkaa

Napayhtälöksi kutsutaan algebrallisen käyrän napakulmakoordinaatistossa määrittävää yhtälöä. Monissa tapauksissa yhtälö voidaan määrittää yksinkertaisesti määrittämällä   muuttujan   funktiona.

Monet käyrät voidaan ilmaista suhteellisen yksinkertaisina napayhtälöinä, vaikka niiden karteesinen muoto olisikin huomattavasti monimutkaisempi.

YmpyräMuokkaa

 
Ympyrä, jonka yhtälö on  .

Yleinen yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on   ja säde  , on

 

Yhtälöä voidaan tietyissä erityistapauksissa yksinkertaistaa, kuten keskipisteen ollessa navassa ja säteen ollessa  :

 

SuoraMuokkaa

Säteittäisiä eli navan kautta kulkevia suoria kuvaa yhtälö

 

jossa   kuvaa suoran jyrkkyyttä, joka saadaan kaavalla  , jossa   on suoran kulmakerroin karteesisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäiselle suoralle, joka leikkaa kohtisuorasti säteittäisen suoran   pisteessä   pätee yhtälö

 

RuusukäyräMuokkaa

 
Ruusukäyrä, jonka yhtälö on  .

Ruusukäyrä on kuuluisa kukalta näyttävä käyrä, joka voidaan ilmaista yksinkertaisella napakulmakoordinaatiston yhtälöllä

 

mille tahansa vakiolle   sisältäen nollan. Jos   on pariton kokonaisluku, ruusukäyrän yhtälöt tuottavat  -terälehtisen ruusun, ja jos   on parillinen kokonaisluku,  -terälehtisen ruusun. Jos   on rationaaliluku, muttei kokonaisluku, ruusun kaltainen käyrä saattaa muodostua, mutta terälehdet saattavat asettua päällekkäin. Huomioitavaa on, ettei yhtälöä  -terälehtiselle ruusulle voida määrittää. Muuttuja   kuvaa ruusun terälehtien pituutta.

Arkhimedeen spiraaliMuokkaa

 
Eräs Arkhimedeen spiraalin haara, jonka yhtälö on  , kun  .

Arkhimedeen spiraali on kuuluisa Arkhimedeen keksimä kuvio, joka voidaan kuvata myös yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä.

 

Muuttujan   arvon muuttaminen kääntää spiraalia, ja muuttujan   arvon muuttaminen muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa. Muuttujien arvot ovat vakiot tietylle spiraalille. Arkhimedeen spiraalilla on kaksi haaraa, toinen arvoille  , ja toinen arvoille  . Haarat yhdistyvät napapisteessä.

KartioleikkauksetMuokkaa

 
Ellipsi.

Kartioleikkaus, jonka toinen polttopiste on navalla ja toinen 0° säteellä saadaan yhtälöstä

 

jossa   on eksentrisyys ja   on pystysuora etäisyys polttopisteestä kehälle. Jos  , yhtälö määrittelee hyperbelin; jos  , se määrittelee paraabelin; jos  , se määrittelee ellipsin. Edellisen erikoistapauksessa, kun  , yhtälö määrittelee  -säteisen ympyrän.

KompleksiluvutMuokkaa

 
Kompleksiluku   piirrettynä kompleksitasolle.
 
Kompleksiluku   piirrettynä kompleksitasolle käyttäen Eulerin kaavaa.

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kompleksitason pisteenä, ja siten voidaan esittää joko pisteen karteesisen koordinaatiston koordinaatit tai pisteen napakoordinaatiston koordinaatit. Kompleksiluku   voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa

 

jossa   on imaginääriyksikkö, tai vaihtoehtoisesti napakoordinaatiston muodossa muodossa

 

ja edelleen muodossa

 

jossa   on Neperin luku, kuten Eulerin kaavat osoittavat. (On huomioitava, että kulma   ilmoitetaan radiaaneissa.)

Kompleksilukujen kerto- ja jakolasku sekä potenssiin korottaminen onnistuu huomattavasti helpommin napakoordinaatistomuotoisilla kompleksiluvuilla kuin normaalimuodossa olevilla.

LähteetMuokkaa

  1. Fogiel, Max: The Algebra & Trigonometry Problem Solver, s. 706-A. Research & Education Assoc., 1976. ISBN 9780878915088. Google book (limited preview). (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa