Algebrallinen käyrä

Algebrallinen käyrä on varisto, jonka dimensio on yksi. Algebrallisten käyrien teoria kehitettiin pitkälti 1800-luvulla.

Tschirnhausenin kuutiollinen käyrä on algebrallinen kolmannen asteen käyrä.

Algebrallinen käyrä kunnassa F voidaan käsittää niiden pisteiden uraksi tuloavaruudessa F'ⁿ, jotka saadaan vähintään n − 1 toisistaan riippumattoman polynomifunktion avulla, joiden kertoimet g_i(x₁, …, x_n) kuuluvat kuntaan F, kun käyrän muodostavat ne pisteet, joissa g_i = 0.

Algebralliset tasokäyrät

Tärkeän luokan algebrallisia käyriä muodostavat algebralliset tasokäyrät eli tasossa $x,y,z\in \mathbb {R}$ määritellyt algebralliset käyrät. Ne ovat jonkin kahden muuttujan polynomiyhtälön f(x, y) = 0 kuvaajia. Ne voidaan jaotella sen mukaan, kuinka monennen asteen polynomi on kyseessä.

Algebrallinen tasokäyrä voi leikata tasossa olevan suoran enintään niin monta kertaa kuin sen asteluku osoittaa. Ensimmäisen asteen tasokäyrät ovat suoria. Niiden yhtälö on muotoa ax + by + c = 0, ja suora voi leikata toisen suoran vain yhdessä pisteessä.

Toisen asteen tasokäyrän yhtälön yleinen muoto on ax² + bx + cy² + dy + exy + f = 0, jossa osa kertoimista tosin voi olla nollia. Tällaiset käyrät ovat yleensä kartioleikkauksia: ympyröitä, ellipsejä, paraabeleja tai hyperbelejä, ja ne voivat leikata suoran enintään kahdessa pisteessä. Esimerkiksi yhtälön x² + y² = r² kuvaaja on ympyrä, yhtälön y = ax² kuvaaja paraabeli ja yhtälön xy = a kuvaaja hyperbeli. Erikoistapauksissa kuvaajana voi olla myös kaksi toisensa leikkaavaa suoraa (esimerkiksi yhtälöllä xy = 0, jonka kuvaajan muodostavat x- ja y-akselit), yksi piste (esimerkiksi yhtälöllä x² + y² = 0 tai tyhjä joukko (esimerkiksi yhtälöllä x² + y² = -r²

Yksinkertaisin kolmannen asteen käyrä on kuutioparaabeli y = x³. Tällainen käyrä voi leikata suoran enintään kolmessa pisteessä. Korkeamman asteen käyriä ovat Cassinin käyrä ja sen erikoistapaus lemniskaatta.

Muiden kuin tason suhteen esimerkiksi toroidaalisilla pinnoilla leikkaussäännöt eivät ole sellaisenaan voimassa, vertaa epäeuklidinen geometria.

Kompleksinen algebralinen käyrä on ekvivalentti kompleksianalyysin Riemannin pinnan kanssa.

Katso myös

• Bézout'n lause
• Riemannin pinta
• Riemannin–Rochin lause