Epäeuklidinen geometria

Epäeuklidinen geometria viittaa sellaisiin euklidisen geometrian tyyppisiin geometrioihin, joissa euklidisen geometrian viides aksiooma, paralleeliaksiooma, ei ole voimassa. Epäeuklidisia geometrioita ovat muun muassa hyperbolinen ja elliptinen geometria.

Olennainen ero euklidisen ja epäeuklidisen geometrian välillä on yhdensuuntaiset suorat. Euklidisessa geometriassa annetun suoran l ulkopuolella olevan pisteen a kautta voidaan piirtää vain yksi l:n kanssa yhdensuuntainen suora, toisin sanoen suora, joka on samassa tasossa kuin l eikä leikkaa suoraa l. Hyperbolisessa geometriassa A:n kautta voidaan piirtää äärettömän monta A:n tällaista suoraa. Elliptisessä geometriassa yhdensuuntaisia suoria ei ole, vaan kaikki samassa tasossa olevat suorat leikkaavat toisensa.

Kolmatta suoraa vastaan kohtisuorassa olevat suorat hyperbolisessa, euklidisessa ja elliptisessä geometriassa.

Toinen tapa kuvailla näiden kolmen geometrian eroja on seuraava: tarkastellaan kahta suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmatta suoraa vastaan. Euklidisessa ja hyperbolisessa geometriassa nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset. Euklidisessa geometriassa suorat ovat yhtä kaukana toisistaan, mutta hyperbolisessa geometriassa ne "kaartuvat toisistaan poispäin", jolloin käyrien pisteiden välinen etäisyys kasvaa. Elliptisessä geometriassa suorat kaartuvat lähemmäksi toisiaan ja viimein leikkaavat toisensa. Siten elliptisessä geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria.