Avaa päävalikko

Funktioteoria eli kompleksianalyysi tutkii analyyttisiä funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa. [1] Funktioteoria keskittyy derivoituvien (differentioituvien) kompleksimuuttujan funktioiden (analyyttisten eli holomorfisten funktioiden) tutkimiseen. [1] Analyyttisten funktioiden teoria perustuu ratkaisevasti kompleksiseen integrointiin, joka huipentuu residylaskentaan (ranskaksi calcul des résidus, "jäännöslaskenta").

Suomessa on pitkät perinteet funktioteorian tutkimisessa. Tutkimussuunnan toi Suomeen Ernst Lindelöf, ja kansainvälistä huippua alalla ovat edustaneet muun muassa Rolf Nevanlinna ja ainoa suomalainen Fieldsin mitalisti, Lars Ahlfors. [2]

Sisällysluettelo

Analyyttiset funktiotMuokkaa

Cauchyn määritelmäMuokkaa

Kompleksimuuttujan   funktion   sanotaan olevan analyyttinen kompleksitason alueessa  , jos funktio on yksikäsitteisesti määritelty kyseisessä alueessa ja jos sillä on äärellinen derivaatta alueen   jokaisessa pisteessä. Tämä analyyttisen funktion määritelmä on peräisin kompleksifunktioiden teorian perustajalta Augustin Louis Cauchy'lta. [1] Kompleksisen funktion derivaatta määritellään vastaavalla tavalla kuin reaalifunktion derivaatta. Erotusosamäärä vain muodostetaan silloin kompleksiluvuilla määritellylle funktiolle, ja rajankäynti derivaatan arvon saavuttamiseksi tapahtuu kompleksilukualueella eli

  [1]

Tässä siis myös luku   on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva. [3]

Riemannin määritelmäMuokkaa

Bernhard Riemann määritteli analyyttisen funktion toisella tavalla Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio

 

missä  , voidaan esittää kahden reaalimuuttujan   ja   avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio   on analyyttinen alueessa  , jos "osafunktiot"   ja   ovat derivoituvia aluetta   vastaavalla reaalisella tasoalueella ja toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt

 

Näitä yhtälöitä sanotaan Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiksi ja niistä seuraa, että funktioilla   ja   on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat kyseisessä alueessa.

MerkitysMuokkaa

Analyyttisyyden määritelmä on yksinkertainen, mutta merkitsee erittäin vahvaa ja rajoittavaa ehtoa kompleksifunktion ominaisuuksille. Se edellyttää muun muassa sitä, että kahden reaalimuuttujan funktiot   ja   toteuttavat niin sanotun Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön (lyhyesti Laplacen yhtälön) kahdessa ulottuvuudessa

 

Laplacen yhtälön kautta määriteltyjä funktioita, jotka siis ovat kompleksimuuttujan reaaliarvoisia funktioita, sanotaan harmonisiksi funktioiksi.

Jos kompleksifunktiolla on olemassa integraalifunktio eli funktio, jonka derivaatta kyseinen kompleksifunktio on, niin integraalifunktio on analyyttinen. Tässä tapauksessa alkuperäisen kompleksifunktion käyräintegraali alueessa   riippuu vain käyrän päätepisteistä eikä siitä, mitä reittiä pitkin integrointi tehdään. Erityisesti käyräintegraali suljetun käyrän ympäri on aina nolla.

LähteetMuokkaa

  • Lehto, Olli: Funktioteoria I–II. Helsinki: Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951-745-077-X.
  • Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. 141, 10. painos. Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5.
  • Spiegel, Murray R. & Lipschutz, Seymour & Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).

LähteetMuokkaa

  1. a b c d Nevanlinna, Rolf & Paatero, Veikko: Funktioteoria. "Kompleksimuuttujan funktiot", 2. painos. s. 20–24. Helsinki: Otava, 1971 (1963).
  2. Olli Lehto: Funktioteorian tulo Suomeen Esitelmä Joensuun yliopistossa 16.9.1999. 16.9.1999. Viitattu 22.12.2018.
  3. MathWorld: Analytic Function