Avaa päävalikko

Polynomin aste on matematiikassa käytetty termi, jolla jaotellaan erilaisia polynomeja niiden ominaisuuksien mukaan. Polynomin, joka muodostuu yhdestä tai useammasta monomista, perusominaisuudet määrätyvät korkeampiasteisen monomin mukaan.

EsimerkkiMuokkaa

Monomin aste on potenssimerkinnässä olevan eksponentin arvo. Esimerkiksi potenssin

 

aste on viisi. Kun polynomissa on useita monomeita, tulee polynomin asteeksi korkein monomin aste. Esimerkiksi polynomi p(x)

 

muodostuu neljästä monomista eli termistä. Niiden asteet ovat vasemmalta lukien 6, 5, 2, 1 ja 0. Koska asteluku 6 on korkein aste, tulee se polynomin asteluvuksi. Tällöin sanotaan, että polynomi p(x) on kuudetta astetta, ja se voidaan merkitä myös

 ,

missä deg merkitsee englanniksi degree.

NimityksiäMuokkaa

Polynomifunktiosta, jonka asteluku on n, käytetään nimitystä

Asteen määräytyminenMuokkaa

Seuraavassa esitellään muutama yleinen tapaus polynomilaskennassa. Niissä polynomi ei saa olla nollafunktio, sillä kun ei ole astetta. Kahden polynomin P(x) ja Q(x) yhteen- ja vähennyslaskussa tuloksen P(x)±Q(x) aste on suurempi aste:

 ,
 .

Esimerkiksi summan   aste on 3, koska 3 ≤ max(3, 2). Samoin erotuksen   aste on 2, koska 2 ≤ max(3, 3).

Vakiolla kertominen ei vaikuta astelukuun:

 .

Esimerkiksi   aste on 2, joka on myös alkuperäisen polynomin   aste.

Polynomien P(x) ja Q(x) tulon P(x)Q(x) aste on asteiden summa

 

ja osamäärässä P(x)/Q(x) asteiden erotus

 .

Esimerkiksi tulon   aste on 3 + 2 = 5.

Polynomien P(x) ja Q(x) yhdistetyn funktion aste on asteiden tulo

 .

Esimerkiksi, jos  ,  , niin  , jonka aste on 6. Alkuperäisten polynomien asteiden tulo  

Asteen määrittäminen funktion arvoistaMuokkaa

Polynomin P(x) aste voidaan laskea raja-arvona

 

Yleistäen voidaan määrittää muidenkin funktioiden aste edellisellä raja-arvolla. Esimerkiksi:

Yleisen funktion f(x) aste voidaan määrittää toisenkin raja-arvon avulla:

 .

LähteetMuokkaa