Avaa päävalikko

Suunnattu derivaatta

Suunnatun derivaatan idea kahden muuttujan funktiolla. Piste A sijaitsee -koordinaatistossa, jossa sen kautta on piirretty punaisen suoran avulla näkyviin suunta . Suoran kautta piirretään -akselin suuntainen taso, joka leikkaa funktion kuvaajaa esittävältä pinnalta keltaisen käyrän. Käyrää sivuaa tangentti pisteessä A' ja tangentin jyrkkyys vaakatasoon nähden on funktion suunnatun derivaatan suuruinen.

Suunnattu derivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta annetun vektorin suunnassa ja annetussa kohdassa. Muutosnopeuden suuruus voidaan parhaiten arvioida derivaatan avulla, joka määritellään niin, että tarkastelun suunta tulee huomioiduksi. Usean muuttujan funktion arvojen muutosnopeus muuttuu siirryttäessä eri suuntiin. Siksi erotukseksi yhden muuttujan funktioista, joilla on jokaisessa kohdassa yksi derivaatan arvo, usean muuttujan suunnatulla derivaatalla on jokaisessa pisteessä ääretön määrä derivaatan arvoja, jotka riippuvat tarkastelusuunnasta. Suunnatulla derivaatalla on sovelluksia enimmäkseen tieteen ja tekniikan aloilla.[1][2][3]

Yhden muuttujan reaalifunktiolla suunnattua derivaattaa vastaa toispuoleinen derivaatta, joka voidaan ottaa vasemmalta- tai oikealta puolelta tarkastelupistettä.

JohdantoMuokkaa

EsimerkkiMuokkaa

Yksinkertaisin usean muuttujan funktio on kahden muuttujan funktio   Funktion muuttujia on tapana esittää joko koordinaattipareina tai kaksipaikkasina vektoreina, joita kutsutaan pisteiksi. Funktion määrittelyjoukko on usein osajoukko  -koordinaatiston pisteistä. Funktion arvot lasketaan jokaiselle koordinaatiston pisteelle   erikseen ja kuvataan usein lisäämällä koordinaatistoon  -ulottuvuus funktion arvoja varten. Silloin funktion käyttäytymistä voidaan esittää yhtälön   avulla.

 
Funktion   graafinen esitys yhtälön   kuvaajana  -koordinaatistossa. Kuvaajan huippu sijaitsee origon   päällä. Piste   sijaitsee määrittelyalueen kulmauksessa taka-vasemmalla.
 
Funktion   graafinen esitys yhtälöiden   kuvaajina  -koordinaatistossa. Kuvaajan huippu sijaitsee origon   päällä. Piste   sijaitsee määrittelyalueessa nuolen kannan kohdalla. Oranssin vektorin pituus on suunnatun derivaatan arvo.

Esimerkkinä käytetään funktiota   joka on aina positiivinen lukuun ottamatta yhtä nollakohtaa origossa  . Valitaan piste  , joka sijaitsee oheisen kuvaajan määrittelyalueen nurkkauksessa taka-vasemmalla, ja jossa funktio saa arvokseen   Kuvaajasta päätellään, että funktiota esittävä pinta muistuttaa pullistunutta pussia, joka on sekä  - että  -akselin suhteen symmetrinen. Koska molemmat symmetriat ovat yhtä aikaa voimassa, on kuvaaja samalla  -akselin suhteen symmetrinen ja muodostaa pyörähdyskappaleen pinnan. Pisteen   kohdalla on pinnan  -koordinaatti   Piirtämällä yhtälön   kuvaaja  -koordinaatistoon, muodostuu siihen ympyrä, jonka säde on   ja keskipisteenä origo. Koska tämän käyrän pisteissä   funktio saa aina saman arvon  , kutsutaan sitä tasa-arvokäyräksi. Tasa-arvokäyrillä saa funktion arvoista tarkan kuvan, jos käyrät nimikoidaan niiden arviolla.

Funktion arvojen muutosnopeus näkyy  -koordinaatistossa pinnan jyrkkyytenä. Jyrkkyys vaihtelee kuitenkin eri suunnissa. Jos vertaa funktion arvoja tasa-arvokäyrän suunnassa, on funktion arvon muutos nolla. Suurin muutosnopeus on origosta poispäin olevissa suunnissa (gradientti) ja pienin (negatiivinen) origoon päin olevissa suunnissa. Juuri tässä mielessä suunnattu derivaatta on tarpeellinen käsite, kun funktion muutosherkkyyttä eli derivaattaa määritellään eri suunnissa.

Käytännöllinen keino määrittää suunnattu derivaatta on laskea ensin gradientti. Gradientti on vektori, jonka arvo eli pituuson funktion suurin muutosnopeus kyseisessä pisteessä. Vektori myös osoittaa siihen suuntaan, missä muutosnopeus on suurimmillaan. Piirretään samaan pisteeseen suora, joka kulkee samaan suuntaan kuin suunnattu derivaatta tullaan määrittämään. Gradientin projektio tälle suoralle antaa sunnatun derivaatan arvon projektivektorin pituutena. Se voidaan laskea ottamalla gradientin arvosta kosini suoran ja gradientin välisestä kulmasta.

Esimerkkifunktion gradienttivektori lasketaan osittaisderivaatan avulla

 

jolloin vektorin arvoksi tulee   Valitaan derivaatan suunnaksi yksikkövektori  , jolloin suunnatun derivaatan   arvoksi saadaan vektorien pistetulon avulla  

eli

 

MerkintöjäMuokkaa

Suunnattu derivaatta merkitään monella eri tavalla. Pisteessä   ja suunnassa   määritetty funktion   suunnattu derivaatta voidaan merkitä seuraavilla tavoilla:[2][4]

 

missä merkityt kertolaskut ovat vektorien pistetuloja.

MääritelmäMuokkaa

Usean muuttujan funktion   määrittelyjoukko voidaan ajatella koostuvan usean muuttujan pisteistä tai vektoreista   , jolloin merkitään   (lihavoidut suureet ovat pisteitä ja vektoreita). Kun halutaan laskea funktion arvoja pisteessä  , joka sijaitsee pisteestä   lähtevän yksikkövektorin   suunnassa, kirjoitetaan   missä  . Funktion arvojen muutosnopeus pisteen   ympäristössä ja suunnassa   muodostetaan erotusosamäärän avulla, jonka raja-arvona saadaan haluttu derivaatta

  [4]

Yhteys gradienttiinMuokkaa

Funktion gradientti   (lue "nabla f") on vektori, joka osoittaa kussakin pisteessä   siihen suuntaan, missä funktion suunnattu derivaatta   saa suurimman arvonsa. Silloin suunnatun derivaatan arvo on yhtä suuri kuin gradientin itseisarvo eli  . Suunnattu derivaatta voidaan laskea yksikkövektorin ja gradientin vektorien pistetulon avulla [5][6][4]

 

missä   on yksikkövektorin ja gradientin välinen kulma. Gradienttia käyttämällä saadaan helpoin tapa määrittää suunnatun derivaatan arvo.[6]

Gradientti lasketaan ottamalla funktiosta osittaisderivaatat kunkin muuttujan suhteen erikseen ja järjestämällä tulokset muuttujien mukaiseen järjestykseen vektoriksi [7]

  [4]

JuttujaMuokkaa

Yleisiä ominaisuuksiaMuokkaa

Suunnatun derivaatan ominaisuuksia, kun derivaatta on otettu suunnassa  :

Funktioiden summa:

 

Vakiovektorin sääntö:

 

Funktioiden tulon sääntö:

 

Ketjusääntö: Jos g on differentioituva pisteessä p and h on differentioituva pisteessä g(p), silloin

 

Toispuoleiset suunnatut derivaatatMuokkaa

Toispuoleiset derivaatat funktiolle   suunnassa  , missä  , voidaan määritellä

 
 

Suunnattu derivaatta suunnassa   on olemassa, kun toispuoleiset suunnatut derivaatat   ja   ovat samanarvoiset. Tällöin pätee

 

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b Weisstein, Eric W.: Directional Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Helsingin yliopisto: Matematiikan tukikurssi, s. 1–4, 2010
  4. a b c d Hästö, Peter: Analyysi II, s. 31–33, Oulun yliopisto, 2007
  5. Weisstein, Eric W.: Gradient (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b Kangaslampi, R.: Osittaisderivaatta 1, 2012
  7. Weisstein, Eric W.: Partial Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa