Vektorikenttä

Vektorikentällä tarkoitetaan matematiikassa rakennelmaa, joka liittää vektorin jokaiseen pisteeseen euklidisessa avaruudessa. Fysiikassa vektorikenttiä käytetään kuvaamaan voimakenttiä. Vektorit esittävät esimerkiksi nopeutta ja sen muutosta kentän eri kohdissa tai voiman suuntaa. Näistä yleisempinä magneetti- ja gravitaatiokentät.

Vektorikenttä, jonka muodostavat vektorit <−y, x>

Määritelmä

Olkoon F avoimen joukon $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ funktio, joka liittää vektorin v(x) jokaiseen pisteeseen $x\in U$. Toisin sanoen F on funktio avaruudesta $\mathbb {R} ^{n}$ avaruuteen $\mathbb {R} ^{n}.$

Yleisesti funktiota F merkitään seuraavasti:

$F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j$

$F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$

riippuen siitä, ollaanko kaksi- vai kolmiulotteisessa avaruudessa. Funktioita P,Q ja R kutsutaan skalaarifunktioiksi.

Historiaa

Vektorikentät nousivat esiin alkujaan 1800-luvun fyysikoiden keskuudessa varsinkin magnetismin yhteydessä. Vektorikentät formalisoi Michael Faraday, jonka mielestä itse kenttä tulisi olla tutkimuksen kohteena, kun tutkitaan voimia. Magneettikentän lisäksi Faraday mallinsi vektorikentiksi sähkö- ja valokentän.

Esimerkkejä

Tarkastellaan vektorikenttää $F(x,y)=-yi+xj$ tasossa. Jotta voisimme mallintaa kentän, on meidän saatava arvoja funktiosta F. Lasketaan arvot funktiolle tason eri pisteissä ja tarkastellaan tilannetta normaalissa xy-koordinaatistossa.

$F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j$

$F\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)=-\left(-{\frac {1}{2}}\right)i+{\frac {1}{2}}j={\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j$

$F\left({\frac {3}{2}},{\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {1}{4}}i+{\frac {3}{2}}j$

Tämä kertoo meille, että pisteeseen $\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ sijoitamme vektorin $-{\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j$, pisteeseen $\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)$ vektorin ${\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j$ ja pisteeseen $\left({\frac {3}{2}},{\frac {1}{4}}\right)$ vektorin $-{\frac {1}{4}}i+{\frac {3}{2}}j$. Voimme jatkaa tätä vektoreiden etsimistä useammassa pisteessä ja saamme mallinnettua artikkelin kuvan kaltaisen vektorikentän.

Katso myös

• Konservatiivinen kenttä
• Kenttäviiva
• Ekvipotentiaali

Lähteet

• Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
• Pauls Online Notes : Calculus III – Vector Fields
• Ruohonen, Keijo: Vektorikentät (Arkistoitu – Internet Archive), Tampereen teknillinen yliopisto, 2011

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.