Erotusosamäärä

Erotusosamäärä on matematiikassa funktion muutosnopeutta kuvaava mitta. Koulumatematiikassa käytetään usein termejä käyrän jyrkkyys tai funktion kasvunopeus, jotka liitetään kuitenkin derivaatan käsitteeseen. Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.

Erotusosamäärä voidaan tulkita kasvunopeuden tai jyrkkyyden likiarvoksi. Monissa talousmallien ja fysikaalisten mittausten pohjana on kuitenkin suureiden erotusosamäärä, jolloin se approksimoi funktion tai suureen keskimääräistä muutosnopeutta. Numeerisessa analyysissa erotusosamäärällä lasketaan derivaatan likiarvoja.

Määritelmä ja tulkinta

Graafinen esitys

Funktio $f$ on määritelty välillä $[x_{0};x_{1}]$. Tällöin voidaan määrittää suhde

$\varphi (x_{1},x_{0})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$,

jota kutsutaan funktion $f$ erotusosamääräksi tällä välillä.

Kun funktion arvon muutosta $\Delta f=f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)$ suhteutetaan vaikutusalueen pituuteen $\Delta x=x_{1}-x_{0}\!\,$, kutsutaan osamäärää funktion keskimääräiseksi kasvunopeudeksi kyseisellä välillä. Erotusosamäärä voidaan esittää myös "delta"-merkintänä

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$,

koska $\Delta f$ merkitään usein myös $\Delta y$.

Erotusosamäärän geometrinen tulkinta on funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretty sekantin eli pisteiden $(x_{0},f(x_{0}))$ ja $(x_{1},f(x_{1}))$ kautta piirretyn suoran kulmakerroin.

Raja-arvo

Kun erotusosamäärän nimittäjä pienenee, tarkoittaa se geometrisesti sekantin pisteiden lähentymistä. Lähellä olevat sekantin pisteet pakottavat sekanttisuoran kulkemaan lähes käyrän suuntaisesti. Kun toiseen pisteeseen asetetaan suora, joka on käyrän tangentti, saadaan vertailusuora sekantille. Voidaan ajatella, että kun sekanttipisteet siirtyvät hyvin lähelle toisiaan, on sekanttisuora ja tangentti lähes yhdensuuntaiset. Tangentin ja sekantin kulmakertoimet ovat tällöin lähes samat. Kun pisteet siirtyvät mielivaltaisen lähelle toisiaan, tulevat suorien kulmakertoimet samaksi.

Tämä raja-arvo voidaan määritellä:

$f'(x_{0})=\lim _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$

Raja-arvo on funktion derivaatan arvo kohdassa $x_{0}$, kun pisteen 1 kohta $x_{1}$ lähestyy pisteen 0 kohtaa $x_{0}$. Raja-arvolla on sama merkitys kuin sekantillakin on eli jyrkkyys.

Edellisen raja-arvon voi merkitä vaihtoehtoisesti

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}\rightarrow f'(x_{0}){\mbox{, kun }}\Delta x\rightarrow 0$.

Esimerkkejä potenssifunktioilla

Seuraavassa eräiden potenssifunktioiden erotusosamäärät sievennettyinä ja niiden raja-arvot.

Funktion	$\displaystyle f(x)$	Erotusosamäärä ${\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$	Derivaatta $f'(x_{0})=\lim _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$	Sieventäminen
Vakiofunktio	$\displaystyle c$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0$	${\frac {c-c}{x_{1}-x_{0}}}=0$
Lineaarinen funktio	$\displaystyle a\cdot x$	$\displaystyle a$	$\displaystyle a$	${\frac {a\cdot x_{1}-a\cdot x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {a(x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=a$
Kvadraattinen funktio	$\displaystyle x^{2}$	$\displaystyle x_{1}+x_{0}$	$\displaystyle 2\cdot x_{0}$	${\frac {x_{1}^{2}-x_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}+x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=x_{1}+x_{0}$
Kuutiollinen funktio	$\displaystyle x^{3}$	$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{1}\cdot x_{0}+x_{0}^{2}$	$\displaystyle 3\cdot x_{0}^{2}$	${\frac {x_{1}^{3}-x_{0}^{3}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}^{2}+x_{1}\cdot x_{0}+x_{0}^{2})}{x_{1}-x_{0}}}$
Yleinen potenssifunktio	$\displaystyle x^{n}$	$\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{x_{1}^{i}\cdot x_{0}^{n-1-i}}$	$\displaystyle n\cdot x_{0}^{n-1}$

Rinnakkaisia määritelmiä

Numeerisen analyysin menetelmissä erotusosamäärällä on keskeinen sija derivaatan approksimoinnissa. Tätä varten erotusosamäärästä on kehitetty useita erilaisia muunnoksia.

Oikeanpuoleinen erotusosamäärä

Oikeanpuoleinen erotusosamäärän geometrinen tulkinta.

Oikeanpuoleinen erotusosamäärä on yllä esitetyn määritelmän tarkennettu nimitys. Siinä tarkastellaan pisteen kohdan $x$ oikealle puolelle tehdyn hypyn $\Delta x$ vaikutusta funktion arvoihin. Se voidaan merkitä myös seuraavasti:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Numeerisessa matematiikassa oikeanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin oikealla.

Vasemmanpuoleinen erotusosamäärä

Vasemmanpuoleisessa erotusosamäärässä hyppy $\Delta x$ tehdään vasemmalle eli $x$:n arvosta vähennetään $\Delta x$. Se merkitään seuraavasti:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}$

Numeerisessa matematiikassa vasemmanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin vasemmalla.

Keskusdifferenssi

Kun vasemman- ja oikeanpuoleisesta erotusosamäärästä otetaan keskiarvo, saadaan:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}\right)$

$={\frac {1}{2}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}\right)$

$={\frac {f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}}$

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää puolet pienempää $\Delta x$, jolloin keskusdifferenssiksi tulee

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+{\tfrac {1}{2}}\Delta x)-f(x-{\tfrac {1}{2}}\Delta x)}{\Delta x}}$

Joissakin tapauksissa vasemman- ja oikeammanpuoleiset erotusosamäärät eivät suppene riittävän nopeasti, mutta keskusdifferenssi sen sijaan suppenee kohti derivaattaa nopeasti. Vaikka sillä derivaatan laskeminen on kierrosta kohden nopeampi, riittää vähäisempi iterointi ja tulos saadaan sitä kautta pienemmällä laskutyöllä.

Fysiikan suureita erotusosamääränä

Fysiikassa on useita suureita, joita voidaan määrittää erotusosamäärän raja-arvona. Käytännön laskuissa riittää usein keskimääräinen muutosnopeus, jolla tarkoitetaan luonnontieteissä juuri erotusosamäärää.

Erotusosamäärä ajan suhteen

Fysiikassa mekaniikassa käytetään erotusosamäärää liikkeen muutoksia laskettaessa.

${\mbox{nopeus}}={\frac {\mbox{matka}}{\mbox{aika}}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}\rightarrow v(t){\mbox{, kun }}\Delta t\rightarrow 0$

${\mbox{kiihtyvyys}}={\frac {\mbox{nopeus}}{\mbox{aika}}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}\rightarrow a(t){\mbox{, kun }}\Delta t\rightarrow 0$

Liikemäärän muutokseen käytettävä voima saadaan erotusosamääränä.

${\mbox{voima}}={\frac {\mbox{liikemäärä}}{\mbox{aika}}}={\frac {\Delta p}{\Delta t}}\rightarrow F(t){\mbox{, kun }}\Delta t\rightarrow 0$

Teho määritellään työn erotusosamääränä.

${\mbox{teho}}={\frac {\mbox{työ}}{\mbox{aika}}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}\rightarrow P(t){\mbox{, kun }}\Delta t\rightarrow 0$

Kondensaattorin sähkövarauksen purkautumisnopeus tarkoittaa sähkövirtaa.

${\mbox{sähkövirta}}={\frac {\mbox{sähkövaraus}}{\mbox{aika}}}={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}\rightarrow I(t){\mbox{, kun }}\Delta t\rightarrow 0$

Erotusosamäärä matkan suhteen

Kohteeseen tehty työ matkan suhteen määrittää käytetyn voiman.

${\mbox{voima}}={\frac {\mbox{työ}}{\mbox{matka}}}={\frac {\Delta W}{\Delta s}}\rightarrow F(s){\mbox{, kun }}\Delta s\rightarrow 0$

Lähteet

• Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)
• Hemmo-Iivonen, Katariina et al.: Pyramidi 12 - Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä. (lukion pitkä matematiikka). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5406-2.

Aiheesta muualla

• St Vincent: Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.—MA109 The Difference Quotient (Arkistoitu – Internet Archive)
• University of Birmingham: Dirk Hermans—Divided Differences
• University of Wisconsin: Thomas W. Reps and Louis B. Rall—Computational Divided Differencing and Divided-Difference Arithmetics
• University of Arizona: Juan M. Restrepo—Divided Differences (Arkistoitu – Internet Archive)
• Mathworld:
  • Erotusosamäärä: Divided Difference
  • Väliarvolause: Mean-Value Theorem