Pinta (geometria)

geometrian käsite
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   topologinen avaruus. Tällöin joukon   pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus  , missä joukko   on yhtenäinen.[1]

Kuvauksen   kuvajoukkoa   kutsutaan pinnan   kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

:n pinnatMuokkaa

Euklidisen avaruuden   pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan   kaavan jatkuvien funktioiden   avulla siten, että pisteessä   pinnan   kaava

 .

Funktioita   kutsutaan pinnan   koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että   on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden   osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan   osittaisderivaatat pisteessä   ovat funktiot  ,

 

 .

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan   derivaatan. Pinnan   derivaattafunktio on funktio  ,

 .

Derivaattafunktion kaavaa   kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä  . Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos  , niin lineaarinen funktio  ,

 ,

on likimääräisesti sama kuin itse pinta   pisteen   läheisyydessä. Funktiota   kutsutaan pinnan   tangenttitasoksi pisteessä  .

 :n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 312–313. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa