Avaa päävalikko

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   topologinen avaruus. Tällöin joukon   pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus  , missä joukko   on yhtenäinen.[1]

Kuvauksen   kuvajoukkoa   kutsutaan pinnan   kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

:n pinnatMuokkaa

Euklidisen avaruuden   pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan   kaavan jatkuvien funktioiden   avulla siten, että pisteessä   pinnan   kaava

 .

Funktioita   kutsutaan pinnan   koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että   on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden   osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan   osittaisderivaatat pisteessä   ovat funktiot  ,

 

 .

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan   derivaatan. Pinnan   derivaattafunktio on funktio  ,

 .

Derivaattafunktion kaavaa   kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä  . Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos  , niin lineaarinen funktio  ,

 ,

on likimääräisesti sama kuin itse pinta   pisteen   läheisyydessä. Funktiota   kutsutaan pinnan   tangenttitasoksi pisteessä  .

 :n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 312–313. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.