Avaa päävalikko

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain :n pinnoille.[1]

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   yhtenäinen ja   eräs  :n derivoituva pinta. Olkoon   joukko siten, että pinnan   kuvaaja  . Olkoon nyt funktio   sellainen, että funktio  ,

 ,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska   on  :n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat  :n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion   pintaintegraali yli pinnan   on luku

 .

SovelluksiaMuokkaa

Jos valitsemme nyt funktioksi  , niin pintaintegraali antaa pinnan   kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan   kuvaajan pinta-alaksi kaavan

 .

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta  ,

 .

Huomataan, että pinnan   kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan   kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

 

 

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

 

 

ja edelleen sen normiksi

 

 .

Näin ollen

 

 .

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

VuopintaintegraaliMuokkaa

Pääartikkeli: Vuo

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta   ja joukko   kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio   sellainen, että funktio  ,

 ,

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion   vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan   on luku

 .

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos   on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti,  , missä   on avoin ja   on  :n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon   reuna  , niin derivoituvan funktion   vuo

 .

LähteetMuokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 951 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.