Pintaintegraali

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain $\mathbb {R} ^{3}$:n pinnoille.

Määritelmä

Olkoon $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ yhtenäinen ja $\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ eräs $\mathbb {R} ^{3}$:n derivoituva pinta. Olkoon $A\subset \mathbb {R} ^{3}$ joukko siten, että pinnan $\omega$ kuvaaja $\omega (D)\subset A$. Olkoon nyt funktio $f:A\rightarrow \mathbb {R}$ sellainen, että funktio $h:D\rightarrow \mathbb {R}$,

$h(x,y)=f(\omega (x,y))||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||$,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska $\omega$ on $\mathbb {R} ^{3}$:n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat $\mathbb {R} ^{3}$:n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion $f$ pintaintegraali yli pinnan $\omega$ on luku

$\int \limits _{\omega }f=\iint \limits _{D}f(\omega (x,y))||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y$.

Sovelluksia

Jos valitsemme nyt funktioksi $f=1$, niin pintaintegraali antaa pinnan $\omega$ kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan $\omega$ kuvaajan pinta-alaksi kaavan

$A(\omega )=\iint \limits _{D}||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y$.

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta $\omega :{\bar {B}}(0,r)\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$,

$\omega (x,y)=(x,y,{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})$.

Huomataan, että pinnan $\omega$ kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan $\omega$ kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

$\partial _{1}\omega (x,y)=(\partial _{1}x,\partial _{1}y,\partial _{1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(1,0,-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})$

$\partial _{2}\omega (x,y)=(\partial _{2}x,\partial _{2}y,\partial _{2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(0,1,-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})$

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

$\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)={\begin{vmatrix}(1,0,0)&(0,1,0)&(0,0,1)\\1&0&-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\\0&1&-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\end{vmatrix}}$

$=(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)$

ja edelleen sen normiksi

$||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||=||(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)||$

$={\sqrt {(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+(y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+1^{2}}}={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}$.

Näin ollen

${\mbox{Pallon kuoren pinta-ala}}=2A(\omega )=2\iint \limits _{{\bar {B}}(0,r)}||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y$

$=2\iint \limits _{{\bar {B}}(0,r)}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y=4\pi r^{2}$.

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

Vuopintaintegraali

Pääartikkeli: Vuo

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta $\omega$ ja joukko $A\subset \mathbb {R} ^{3}$ kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio $F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ sellainen, että funktio $H:D\rightarrow \mathbb {R}$,

$H(x,y)=F(\omega (x,y))\cdot (\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y))$,

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion $F$ vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan $\omega$ on luku

$\int \limits _{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iint \limits _{D}F(\omega (x,y))\cdot (\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y))\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y$.

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, $E\subset A$, missä $A\subset \mathbb {R} ^{3}$ on avoin ja $\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ on $\mathbb {R} ^{3}$:n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon $E$ reuna $\partial E$, niin derivoituvan funktion $F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ vuo

$\int \limits _{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iiint \limits _{D}\nabla \cdot F\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y\,{\mbox{d}}z$.