Avaa päävalikko

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus   on yksinkertainen, jos

 ,

missä  ;   ja joukot   ovat perusjoukon   ositus ja   on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion   integraali on

 .

Olkoon   kuvaus, joka on  -mitallinen. Kuvauksen   integraali on

 .

Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta   on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa

 .

Kuvauksen   integraali yli joukon   on

 .

Kuvaus   on integroituva, jos pätee ehto

 .

  on integroituva yli joukon  , jos pätee

 .

  on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee

  tai  .

PerusominaisuuksiaMuokkaa

Oletetaan, joukko  ,   ja   ovat  -mitallisia kuvauksia   ja integroituvia yli joukon  .

  • pätee kolmioepäyhtälö
     
  • summa   on integroituva yli joukon   ja
     
  • jos  , niin   on integroituva yli joukon   ja
     
  • jos  , niin
     
  • jos  , niin
     
  • jos   melkein kaikkialla joukossa  , niin
     

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi  ,   ja   ovat erillisiä sekä   on  -mitallisia kuvaus   ja integroituva yli joukon  , niin

 .

Integroituvien funktioiden avaruudet ja Muokkaa

Olkoon   mitta-avaruus,   täydellinen mitta ja luku  . Merkitään eksponentilla   integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla

 .

Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla

 .

  on siis integroituva jos ja vain jos  . Sanotaan, että   on neliöintegroituva, jos  .

Ominaisuuksia:

  •   on Banach-avaruus kaikilla  
  • jos   on äärellinen mitta ja  , niin  

Epäyhtälöitä integraalilleMuokkaa

Hölderin epäyhtälöMuokkaa

Jos   ja   siten, että

 ,

sekä   ja  , niin Hölderin epäyhtälö on

 .

Jos   ja  , niin epäyhtälö pätee muodossa

 .

Lukuja   ja   kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.

Minkowskin epäyhtälöMuokkaa

Jos  , niin  . Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle  -funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus   on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Fatoun lemmaMuokkaa

Olkoon joukko   ja   jono  -mitallisia kuvauksia  . Tällöin

 

ja

 .

KonvergenssilauseetMuokkaa

Olkoon joukko   ja   jono  -mitallisia kuvauksia   siten, että jonon raja-arvo

 

on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että

 .

Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Monotonisen konvergenssin lauseMuokkaa

Jos pätee  , niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lauseMuokkaa

Jos on olemassa integroituva kuvaus   siten, että   kaikilla   melkein kaikkialla joukolla  , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

Rajoitetun konvergenssin lauseMuokkaa

Jos   ja   kaikilla  , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

IntegraalimittaMuokkaa

Jokaiseen mitta-avaruuden   mitalliseen kuvaukseen   voidaan liittää mittaintegraali   yli jokaisen joukon  . Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus

   

on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Daniellin integraaliMuokkaa

Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966).

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa