Avaa päävalikko

Lebesguen mitta on reaalilukujen joukon mitta, jota kutsutaan havainnollisuutensa vuoksi myös luonnolliseksi mitaksi. Sen integraali eli Lebesguen integraali on Riemannin integraalin laajennus.

Lebesguen mitalla on useita luonnolliselta tuntuvia ominaisuuksia. Se yhtenee geometrian pituus-, pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden kanssa sikäli, että esimerkiksi reaalilukuvälin Lebesguen mitta on , -neliön mitta on ja -kuution mitta on . Se on siirto- ja kiertoinvariantti, minkä voi tulkita graafisesti niin, ettei joukon asennolla tai sijainnilla ole vaikutusta sen mittaan.

Lebesguen mitta on määritelty kaikille helposti kuviteltaville joukoille. Valinta-aksiooman avulla voidaan kuitenkin todistaa, että on olemassa sellaisiakin :n osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. Kaikki sellaiset ovat kuitenkin luonteeltaan hyvin monimutkaisia ja abstrakteja.[1]

Lebesguen mitan määrittelyMuokkaa

Lebesguen mitta määritellään Lebesguen ulkomitan kautta, joka on mitta, joka on määritelty mielivaltaisille  -ulotteisille reaalilukujen joukoille. Alustavasti on kuitenkin tehtävä joitakin määritelmiä.

Yksiulotteinen avoin väli on perinteiseen tapaan väli

 .

 -ulotteinen avoin väli on yksiulotteisten avoimien välien karteesinen tulo

 .

Kiinnitetään geometriselle mitalle symboli  . Jos   on  -ulotteinen väli, niin sen geometrinen mitta on

 .

Lebesguen ulkomittaMuokkaa

Jos   on luonnollinen luku, joukko  , niin joukon   Lebesguen ulkomitta on

 .

  on kuvaus  .

Yleensä samaistetaan symbolit   ja  , jos dimensio on yhteydestä selvä.

Lebesgue-mitalliset joukotMuokkaa

Joukko   on Lebesgue-mitallinen, jos

  kaikilla joukoilla  .

Tämä on niin kutsuttu Carathéodoryn ehto.

 -ulotteisten Lebesgue-mitallisten joukkojen joukkoa merkitään symbolilla  . Voidaan sanoa, että kaikki helposti kuviteltavat joukot ovat Lebesgue-mitallisia.   on sigma-algebra.

Lebesgue-mitallisia joukkoja:

  •  -ulotteiset avoimet välit ovat Lebesgue-mitallisia joukkoja
  • jos pätee  , niin   on Lebesgue-mitallinen
  • numeroituvat joukot ovat Lebesgue-mitallisia
  • avoimet ja suljetut joukot ovat Lebesgue-mitallisia
  • Lebesgue-mitallisen joukon komplementti on Lebesgue-mitallinen
  • Lebesgue-mitallisten joukkojen numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset ovat Lebesgue-mitallisia
  • Borel-joukot ovat Lebesgue-mitallisia

Kaikki Lebesgue-mitalliset joukot eivät kuitenkaan ole Borel-joukkoja.

Lebesguen mittaMuokkaa

Jos joukko   on Lebesgue-mitallinen, niin sen Lebesguen mitta on  .   on siis kuvaus  .

Jos dimensio on yhteydestä selvä, merkitään  .

Lebesgue-mitalliset funktiotMuokkaa

Jos  , niin funktio   on Lebesgue-mitallinen, jos   on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla  .

Jos  , niin funktio   on Lebesgue-mitallinen, jos   on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla   sekä   ja   ovat Lebesgue-mitallisia joukkoja.

Lebesgue-mitallisia funktioita:

  • jos   on Lebesgue-mitallinen joukko, niin indikaattorifunktio   on Lebesgue-mitallinen funktio
  • jos   on mitallinen, niin jatkuvat funktiot   ovat Lebesgue-mitallisia
  • jos  ,   on Lebesgue-mitallinen funktio  ,  ,   ja   on jatkuva funktio  , niin yhdistetty kuvaus   on Lebesgue-mitallinen
  • Lebesgue-mitallisten funktioiden välinen summa ja tulo muodostavat Lebesgue-mitallisen funktion
  • jos   on Lebesgue-mitallinen funktio ja  , niin   on Lebesgue-mitallinen funktio
  • jos   ja   on jono Lebesgue-mitallisia funktioita  , niin funktiot
     ,  ,   ja  
    ovat Lebesgue-mitallisia. Jos lisäksi
     
    on olemassa, on se Lebesgue-mitallinen

Lebesguen mitan ominaisuuksiaMuokkaa

Jos   on  -ulotteinen avoin väli, niin  . Lebesguen mitta on siis geometrisen mitan laajennus siinä mielessä, että kaikilla niillä joukoilla, joilla geometrinen mitta on määritelty, on myös Lebesguen mitta ja se on sama kuin geometrinen mitta. Lebesguen mitta on samoin myös Jordanin mitan laajennus.

Jos   on jono pareittain erillisiä Lebesgue-mitallisia joukkoja, niin

 .

Jos   on numeroituva joukko, niin  .

Lebesguen mitta   on täydellinen mitallisella kentällä  .

Lebesguen integraaliMuokkaa

Pääartikkeli: Lebesguen integraali

Lebesguen integraali on mittaintegraali Lebesguen mitan suhteen. Kun määritellään

  ja  

Lebesgue-mitalliselle funktiolle  , ja edes toinen integraaleista   tai   on äärellinen, voidaan Lebesguen integraali yli mitallisen joukon E määritellä

 .

Mikäli

 ,

sanotaan, että funktio on Lebesgue-integroituva yli joukon E, ja merkitään esimerkiksi  . Lebesguen integraali on Riemannin integraalin aito laajennus: Mikäli Riemannin integraali funktiolle on olemassa, Lebesguen integraali antaa saman tuloksen. Lisäksi monille funktioille, jotka eivät ole Riemann-integroituvia, Lebesguen integraali antaa vaivatta modernin analyysin kannalta "oikean" tuloksen. Sanallinen kuvaus Lebesguen integraalin määritelmästä ja ominaisuuksista löytyy täältä.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Lehto, Olli: Differentiaali- ja integraalilaskenta III, s. 67–68. Limes ry, 1979. ISBN 951-745-037-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa