Mitta

matemaattinen mittateoria
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista mittateoriaa. Mitta tarkoittaa myös mittayksikköä tai jonkin suureen, etenkin pituuden mittavälinettä kuten mittanauhaa.

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuvat todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.[1]

Intuitiivisesti mitta on kuvaus, joka liittää jokaiseen mitattavaan joukkoon ei-negatiivisen reaaliluvun, missä osajoukot kuvautuvat pienemmille luvuille.

Lebesguen mitta reaalilukujen joukossa ja sen osajoukoissa mittaa välin pituutta: . Usean pistevieraan välin yhdisteen mitta on näiden osavälien mittojen summa. Joukon Lebesguen mitta mittaa joukkojen pinta-alaa, jne. Ihan kaikille joukon osajoukoille Lebesguen mittaa ei pysty määrittelemään. Niistä, joille pystyy, käytetään termiä mitallinen joukko.

Lukumäärämitta puolestaan kertoo joukon alkioiden lukumäärän paitsi että äärettömillä joukoilla se saa arvon . Sen pystyy määrittelemään kaikille joukoille. Muitakin mittoja on loputtomasti.

Tässä artikkelissa "mitta" tarkoittaa positiivista mittaa eli sellaista, jonka arvot ovat joukossa . Kompleksinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää olla kompleksilukuja (siis on kielletty). Merkkinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää kuulua joukkoon tai riippuen siitä, minkä oppikirjan määritelmää käytetään. Välin osajoukkoihin rajoitettu Lebesguen mitta on näitä kaikkia, mutta koko joukon Lebesguen mitta ei tietenkään ole kompleksinen mitta.

MääritelmäMuokkaa

Merkitään   (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa).

Oletetaan, että   on joukko ja   on jokin joukon   sigma-algebra. Sanomme, että funktio   on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

  1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli  
  2. Jos joukot  ,  , ovat erillisiä, niin  .

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai  -additiivisuudeksi.

Jos   on mitta joukossa  , niin kutsumme kolmikkoa   mitta-avaruudeksi. Joukkoa   kutsutaan tällöin perusjoukoksi ja sigma-algebran   alkioita mitallisiksi joukoiksi.

OminaisuuksiaMuokkaa

Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa  :

  • Monotonisuus: jos   ja  , niin
     
  • Subadditiivisuus: jos  ,   (eivät välttämättä erillisiä), niin
     
  • Konvergenssilauseet:
  1. Jos     ja  , niin
     
  2. Jos       ja  , niin
     

Ulkomitan määräämä mittaMuokkaa

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

NimityksiäMuokkaa

  • Joukkoa   kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos  .
  • Ominaisuuden   sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde, on μ-nollamittainen.
  • Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaalilukujen joukko   varustettuna Lebesguen mitalla   on σ-äärellinen mutta ei äärellinen. Se ei ole äärellinen, koska  . Tarkastellaan suljettuja välejä   kaikilla kokonaisluvuilla  . Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on  , ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa varustettuna lukumäärämitalla  , joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän mutta äärettömille joukoille arvon  . Tämä mitta   ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista (äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste kun on numeroituva toisin kuin  ).

Erityisiä mittojaMuokkaa

  • Mitta on täydellinen, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko mitallinen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa