Avaa päävalikko
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista mittateoriaa. Mitta tarkoittaa myös mittayksikköä tai jonkin suureen, etenkin pituuden mittavälinettä kuten mittanauhaa.
Intuitiivisesti mitta on kuvaus, joka liittää jokaiseen mitattavaan joukkoon ei-negatiivisen reaaliluvun, missä osajoukot kuvautuvat pienemmille luvuille.

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuu todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.[1]

MääritelmäMuokkaa

Merkitään   (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa).

Oletetaan, että   on joukko ja   on jokin joukon   sigma-algebra. Sanomme, että funktio   on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

  1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli  
  2. Jos joukot  ,  , ovat erillisiä, niin  .

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai  -additiivisuudeksi.

Jos   on mitta joukossa  , niin kutsumme kolmikkoa   mitta-avaruudeksi. Joukkoa   kutsutaan tällöin perusjoukoksi ja sigma-algebran   alkioita mitallisiksi joukoiksi.

OminaisuuksiaMuokkaa

Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa  :

  • Monotonisuus: jos   ja  , niin
     
  • Subadditiivisuus: jos  ,   (eivät välttämättä erillisiä), niin
     
  • Konvergenssilauseet:
  1. Jos     ja  , niin
     
  2. Jos       ja  , niin
     

Ulkomitan määräämä mittaMuokkaa

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

NimityksiäMuokkaa

  • Joukkoa   kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos  .
  • Ominaisuuden   sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde on μ-nollamittainen.
  • Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaaliluvut joissa on määritelty Lebesguen mitta, ovat σ-äärellisiä mutta eivät äärellisiä. Tarkastellaan suljettuja välejä   kaikilla kokonaisluvuilla  . Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on  , ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan toisaalta reaalilukuja joissa on annettu lukumäärämitta, joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän. Tämä mitta ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista.

Erityisiä mittojaMuokkaa

  • Mitta on täydellinen, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko mitallinen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa