Laajennettu reaalilukujoukko

Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞. [1] [2] Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla tai välinä [−∞, +∞]. Laajennetun reaalilukujoukon geometrinen vastine on laajennettu lukusuora, jossa ajatellaan tavallisen lukusuoran kumpaankin päähän lisätyksi yksi äärettömän kaukainen piste.

Ylin reaalilukusuora on laajennettu siten, että mukaan on otettu luvut ja ja ne ovat lukusuoran päätepistetitä. Alempi kuvio liittyy toiseenn laajennustulkintaan.

Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.

Laskutoimitukset

muokkaa

Tavalliset reaalilukujen laskutoimitukset voidaan osittain ottaa käyttöön myös laajennetussa reaalilukujoukossa.

 

Näissä määrittelyissä a + ∞ on sekä a + (+∞) että a − (−∞), ja vastaavasti a − ∞ on sekä a − (+∞) että a + (−∞).

Sen sijaan ∞−∞, ±∞ ÷ ±∞, (±∞)0, 0±∞, 1±∞ ja (−∞)±∞ ei tavallisesti ole määritelty. Raja-arvolaskennassa määrittämätön 0 * ±∞ taas määritetään todennäköisyyslaskennassa ja mittateoriassa tavallisesti nollaksi.

Lähteet

muokkaa
  1. Metsänkylä, Tauno & Näätänen, Marjatta: Algebra s. 143 matematiikkalehtisolmu.fi. 2010. Viitattu 8.7.2019.
  2. Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: Topologia, s. 86. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7.

Kirjallisuutta

muokkaa
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.