Avaa päävalikko

Todennäköisyysteoria

matematiikan osa-alue
(Ohjattu sivulta Todennäköisyysmitta)

Todennäköisyysteoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii todennäköisyyksiä hyödyntäen mittateorian käsitteitä. Siinä tapahtumat käsitetään mitallisen avaruuden (ns. otosavaruus) mitallisiksi osajoukoiksi, ja annetun tapahtuman todennäköisyys on sitä vastaavan joukon mitta. Koko otosavaruuden tulkitaan tarkoittavan varmaa tapausta ja sen mitta on 1. Aksiomaattisen pohjan todennäköisyysteorialle loi Andrei Kolmogorov vuonna 1933 teoksessaan Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (suom. Todennäköisyyslaskennan perusteet)

TodennäköisyysavaruusMuokkaa

Olkoon   epätyhjä joukko (ns. perus­joukko eli otosavaruus) ja   sigma-algebra joukossa  . Nyt kuvaus   on todennäköisyysmitta (lyh. todennäköisyys) jos se toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa

  1. Kuvaus   on mitta
  2. Otosavaruuden todennäköisyys on 1, eli  .

Kolmikkoa   kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi tai todennäköisyyskentäksi.

Sigma-algebran   alkioita kutsutaan tapahtumiksi. Tulkinnallisesti sigma-algebra on satunnaiskokeesta havaittavissa olevien, tai muuten mielenkiintoisten ja olennaisten lopputulosten joukko. Otosavaruuden alkioita kutsutaan alkeis­tapauksiksi tai otoksiksi, ja varsinaisen satunnaisuuden, joka liittyy todennäköisyyteen taustalla olevana ilmiönä, ajatellaan liittyvän alkeistapauksen   valintaan todennäköisyysmitan   määrätessä jakauman.

Tapahtuman   sanotaan sattuvan, jos  . Todennäköisyys, että   sattuu, on sen mitta  .

Tapahtumiin voi luonnollisesti ajatella liittyvän loogisia operaattoreita, kuten ei, ja ja tai. Nämä tulkitaan satunnaisilmiön kuvailussa joukko-opin kielelle joukko-operaatioina. Tapahtuma   ei satu, jos sen komplementti sattuu:  . Tapahtumat   ja   sattuvat, jos niiden leikkaus sattuu:  . Tapahtuma   tai tapahtuma   sattuu, jos niiden yhdiste sattuu:  .

Tapahtuman   sanotaan sattuvan melkein varmasti, mikäli  .

Klassinen todennäköisyysmalliMuokkaa

Yksinkertaisin ja varhaisin todennäköisyysmalli perustuu symmetrisiin alkeistapauksiin, jota kutsutaan myös klassiseksi todennäköisyysmalliksi. Tässä mallissa otosavaruus on

 

ja kaikilla   on

 .

Tämä on erikoistapaus äärellisestä todennäköisyysavaruudesta, joilla jälkimmäistä rajoitusta jakaumalle ei yleisesti ole. Äärellisille todennäköisyysavaruuksille voidaan valita ilman ongelmia sigma-algebraksi potenssijoukko  . Tämä merkitsee, että todennäköisyys on määriteltty kaikille perusjoukon osajoukoille.

Geometrinen todennäköisyysmalliMuokkaa

Klassinen todennäköisyysmalli on erikoistapaus niin sanotusta geometrisesta todennäköisyysmallista. Geometrisessa todennäköisyysmallissa voimme minkä tahansa äärellismittaisen mitta-avaruuden pohjalta rakentaa todennäköisyysmitan tähän avaruuteen. Täsmällisemmin jos   on mitta-avaruus, jonka perusjoukko on äärellis- ja positiivimittainen eli pätee  , niin kuvaus  ,

 

on todennäköisyysmitta.

Esimerkiksi klassinen todennäköisyysmalli saadaan geometrisesta mallista jos mitaksi annetaan lukumäärämitta. Koulumatematiikassa tunnettu geometrinen todennäköisyys on taasen esimerkiksi lukusuoralla ja tasossa, joissa geometrisen todennäköisyyden mitta on saatu Lebesguen mitasta.

SatunnaismuuttujaMuokkaa

Pääartikkeli: Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja on  -mitallinen kuvaus  . Se liittää todennäköisyyskentän Ω jokaiseen alkioon eli mahdolliseen alkeistapaukseen jonkin reaalilukuarvon. Jos siis alkeistapaus oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole satunnainen eikä muuttuja. Sovelluksissa todennäköisyyskentän alkiot kuitenkin tarkoittavat satunnaisia tapahtumia, jotka tapahtuvat tietyllä todennäköisyydellä, ja näin ollen satunnaismuuttujastakin voidaan käytännön kannalta sanoa, että se saa tiettyjä tai tietyllä välillä olevia arvoja tietyillä todennäköisyyksillä.

Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttuja lienee iso kirjain, kuten  . Satunnaismuuttujaa merkitään joskus pienellä kirjaimella. Tällöin se tavataan erottaa vakioista, joita myös merkitään yleensä pienillä kirjaimilla, alleviivauksella, kuten  , tai painolaadun salliessa lihavoinnilla, kuten  .

Satunnaismuuttujan kertymäfunktio on reaalifunktio

 .

Se on kaikille satunnaismuuttujille olemassa ja yksikäsitteinen.

Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos perusjoukko on numeroituva, ja jatkuva, jos sen kertymäfunktio on derivoituva, jolloin kyseistä derivaattaa kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole kumpaakaan kutsutaan muun muassa sekatyyppisiksi. Satunnaismuuttujaa sanotaan yksinkertaiseksi, jos se voi saada vain äärellisen määrän eri arvoja. Nopanheitto käy esimerkiksi tällaisesta tilanteesta.

RiippumattomuusMuokkaa

Riippumattomuus on tärkeä satunnaismuuttujien ja tapahtumien välinen ominaisuus. Satunnaismuuttujat   ja   ovat riippumattomia, jos yhtälö

 

pätee kaikilla Borel-joukoilla   ja  .

Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ne eivät vaikuta toisiinsa, toisin sanoen jos B tapahtuu yhtä suurella todennäköisyydellä, olipa A tapahtunut tai ei, ja kääntäen. Matemaattisesti voidaan määritellä, että   ja   ovat riippumattomat, jos satunnaismuuttujat   ja   ovat riippumattomat, missä   tarkoittaa indikaattorifunktiota. Tämä on yhtä kuin ehto

 .

Vastaavat ehdot useammille satunnaismuuttujille ja tapahtumille on pädettävä kaikkien indeksikombinaatioiden yli. Esimerkiksi, tapahtumat  ,   ja   ovat riippumattomat, jos kaikki yhtälöt

     ,
     ,
     ,
ja      

pätevät.

TunnuslukujaMuokkaa

Satunnaismuuttujan   odotusarvo on sen integraali yli otosavaruuden, joka on todennäköisyysmitan avulla merkittynä

 .

Sille on vakiintunut merkintä  . Satunnaismuuttujan   sanotaan olevan integroituva, jos  .

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on likimäärin sen odotusarvo.

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan neliöintegroituva, jos  . Neliöintegroituvan satunnaismuuttujan   varianssi on  .

Satunnaismuuttujajonon konvergenssiMuokkaa

Erilaiset konvergenssit ovat tärkeitä satunnaismuuttujien ominaisuuksia. Olkoon   jono satunnaismuuttujia.

  • jono suppenee melkein varmasti, jos
     
  • jono suppenee stokastisesti kohti satunnaismuuttujaa  , jos kaikilla   pätee
     
  • jono suppenee jakaumaltaan, jos niiden kertymäfunktioiden jono suppenee pisteittäin jotakin kertymäfunktiota kohti
  • jos   kaikilla  , niin suppenee kvadraattisesti kohti satunnaismuuttujaa  , jos
     

Jos jono suppenee kvadraattisesti tai melkein varmasti, niin se suppenee myös stokastisesti. Jos jono suppenee stokastisesti, niin se suppenee myös jakaumaltaan.

Ehdollinen todennäköisyys ja odotusarvoMuokkaa

Varsinkin koulumatematiikassa käytetään havainnollista ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. Jos tapahtumalle   pätee  , niin tapahtuman   todennäköisyys ehdolla   on

 .

Tämä on tulkittava siten, että jos on ikään kuin tieto, että   sattuu eli  , niin yllä oleva on todennäköisyys sille, että myös   on sattunut eli  . Tästä lähtökohdasta voidaan todistaa seuraavat ominaisuudet:

  • Ehdollinen todennäköisyys toteuttaa todennäköisyysmitan määritelmän. Täten mitalla   on todennäköisyysmitan   kaikki ominaisuudet. Esimerkiksi, jos   ja   ovat tapahtumia, niin yhteenlaskukaava pätee muodossa  
  • jos tapahtumat   ja   ovat riippumattomia, niin  
  • kertolaskukaava:  

Satunnaismuuttujan   ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla   on  -mitallinen satunnaismuuttuja  , jolle yhtälö

 

pätee kaikilla  . Satunnaismuuttujan   ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja   on  , missä   tarkoittaa satunnaismuuttujan   virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio, eikä reaaliluku. Ehdollinen odotusarvo ehdolla   on  , missä  , on reaaliluku.

Ehdollisen odotusarvon ominaisuuksia:

  • jos  , niin  
  •  
  • karkeus voittaa aina eli iteratiivisuus: jos  , niin  
  • lineaarisuus: jos   ja  , niin  
  • jos   on  -mitallinen, niin  
  • jos   on  -mitallinen ja rajoitettu, niin  

Alisigma-algebran   tulkinta on ikään kuin etukäteen havaittavissa oleva tieto satunnaismuuttujan arvosta. Triviaali sigma-algebra vastaa täydellistä epätietoisuutta,  , ja satunnaismuuttujan virittämä sigma-algebra vastaa tarkkaa tietoa sen arvosta,  .

Joukon   ehdollinen todennäköisyys on  . Tämä yhtenee koulumatematiikan ehdollisen todennäköisyyden kanssa siten, että jos  , niin  .

Todennäköisyyslaskennan kaavojaMuokkaa

Tapahtuma   ei satu todennäköisyydellä  . Tapahtuma   sattuu, mutta   ei, todennäköisyydellä  . Jos   ja   ovat toisensa poissulkevia, niin  . Jos   sattuu aina kun   sattuu, niin  .

YhteenlaskukaavaMuokkaa

Tapahtuma   tai   sattuu todennäköisyydellä  . Yhteenlaskukaavan yleinen muoto: jos   ovat tapahtumia, niin

     
 
   

Kokonaistodennäköisyyden kaavaMuokkaa

Olkoon   tapahtuma ja tapahtumat   perusjoukon ositus. Kokonaistodennäköisyyden kaava:

 .

Bayesin kaavaMuokkaa

Olkoon   tapahtuma ja tapahtumat   perusjoukon ositus. Bayesin kaava:

kaikilla   pätee  

Lukua   kutsutaan prioritodennäköisyydeksi ja lukua   posterioritodennäköisyydeksi.

Tuloperiaate ja summaperiaateMuokkaa

Tuloperiaate: jos satunnaiskoe koostuu  :sta kappaleesta riippumattomia vaiheita siten, että ensimmäisellä vaiheella on   eri tulosvaihtoehtoa, toisella vaiheella   tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisellä vaiheella on   tulosvaihtoehtoa, niin koko kokeella on   tulosvaihtoehtoa.(en)

Summaperiaate: jos satunnaiskoe koostuu  :sta kappaleesta toisensa poissulkevia ryhmiä lopputuloksia siten, että ensimmäisessä ryhmässä on   tulosvaihtoehtoa, toisessa ryhmässä   tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisessä ryhmässä on   tulosvaihtoehtoa, niin kokeella on   tulosvaihtoehtoa.(en)

Todennäköisyysteorian lauseitaMuokkaa

KonvergenssilauseetMuokkaa

Olkoon   jono satunnaismuuttujia, jonka raja-arvo

 

on melkein varmasti olemassa.

Mittateorian konvergenssilauseet pätevät todennäköisyyden mittateoreettisen määrittelyn vuoksi sellaisenaan, kun integraali korvataan odotusarvolla ja mitallinen funktio satunnaismuuttujalla. Ne voidaan kuitenkin yleistää ehdolliselle odotusarvolle siten, että jonon raja-arvon oton ja ehdollisen odotusarvon oton järjestyksen voi vaihtaa:

 melkein varmasti,

missä   on sigma-algebra.

Monotonisen konvergenssin lauseMuokkaa

Oletetaan, että toinen alla olevista ehdoista on voimassa:

  •   on melkein varmasti kaikilla   ja jollakin   pätee melkein varmasti  
  •   on melkein varmasti kaikilla   ja jollakin   pätee melkein varmasti  

Tällöin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lauseMuokkaa

Jos on olemassa integroituva satunnaismuuttuja   siten, että   melkein varmasti kaikilla  , niin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

Fatoun lemmaMuokkaa

Olkoon   jono satunnaismuuttujia. Myös mittateorian Fatoun lemma voidaan yleistää ehdolliselle odotusarvolle:

 

ja

 ,

missä   on sigma-algebra.

Suurten lukujen laitMuokkaa

 
"Suurten lukujen lakia" kuvaava simulaatio. Joka kerta kun kolikkoa heitetään, laitetaan punainen tai sininen piste vastaavaan pylvääseen. Alussa ero voi olla suurikin, mutta lähenee lopulta arvoa 50 %.

Todennäköisyyslaskennassa suurten lukujen laeiksi kutsutaan riittäviä ehtoja sille, että satunnaismuuttujajonon keskiarvo suppenee (jollakin tavalla) kohti sen keskiarvon odotusarvoa. Jos kyseessä on erityisesti toistokoe, niin suurten lukujen lain voidaan tulkita ehdoksi sille, että kokeiden tulosten keskiarvo lähestyy kokeen odotusarvoa.

Suurten lukujen laista on olemassa useita matemaattisina teoreemoina todistettuja muunnelmia. Niistä vanhin on toistokokeita koskeva, Jakob Bernoullin todistama Bernoullin lause: Oletetaan, että jos jokin toistokoe suoritetaan n kertaa ja joka kerta toisistaan riippumatta tietty tulos X saavutetaan tietyllä vakinaisella todennäköisyydellä P0. Silloin jos ε on kuinka pieni positiivinen luku tahansa, niin todennäköisyys sille, että sellaisten kertojen suhteellinen osuus, joilla tulos X on saavutettu, poikkeaa P0:stä enemmän kuin ε:n verran, lähestyy nollaa, kun n kasvaa rajatta. Toisin sanoen jos n on kaikkien toistokertojen lukumäärä ja x sellaisten, joilla tämä tulos on saatu, niin

 ,

kun  .


Esimerkiksi rahan heitossa kruunien ja klaavojen suhteelliset frekvenssit lähestyvät todennäköisesti puolikasta ja toisiaan, kun rahan heittämistä jatketaan. Tosin heitettiinpä rahaa kuinka monta kertaa tahansa, aina on mahdollista sekin, että kaikilla kerroilla tulee kruuna tai kaikilla klaava; tällainen sattuma vain käy sitä epätodennäköisemmäksi, mitä useampia kertoja heitto toistetaan. Suurten lukujen laki ei myöskään tarkoita, että kruunien ja klaavojen lukumääräfrekvenssit lähestyisivät toisiaan. Suhteellisten frekvenssien lähestyminen ei edellytä tätä.

Kolmogorovin vahva suurten lukujen lakiMuokkaa

Jos satunnaismuuttujat  ,  , ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja  , niin jonon keskiarvo suppenee melkein varmasti kohti satunnaismuuttujien odotusarvoa, toisin sanoen

 

melkein varmasti kun  .

Keskeinen raja-arvolauseMuokkaa

Pääartikkeli: Keskeinen raja-arvolause

Olkoot satunnaismuuttujat  ,  , ovat riippumattomia, samoin jakautuneita,   ja  . Tällöin

  

heikon konvergenssin mielessä. Tässä siis   on standardinormaalijakauman kertymäfunktio. Tulos pätee myös lievemmällä oletuksella, jota kutsutaan Lindebergin ehdoksi, nimetty suomalaisen matemaatikko J.W. Lindebergin mukaan. Hän todisti ehdon riittävyyden, mikä on kenties merkittävin yksittäinen suomalaisen matemaatikon tulos - kyseinen ehto on nimittäin myös (tietyn tasapainoehdon vallitessa) välttämätön ehto lauseen pätemiselle, ja siten ratkaisu 1900-luvun alkupuolella vaikuttaneeseen keskeiseen raja-arvoprobleemaan.

Kolmogorovin 0–1-lakiMuokkaa

Olkoon   jono riippumattomia satunnaismuuttujia. Merkitään äärettömän kaukaisista jonon   arvoista riippuvien tapahtumien sigma-algebraa symbolilla

 .

Jos tapahtuma  , niin

  tai  .

Borelin–Cantellin lemma on erikoistapaus Kolmogorovin 0–1-laista.

Borelin–Cantellin lemmaMuokkaa

Olkoon   jono riippumattomia tapahtumia. Tällöin

  tai  .

Borelin–Cantellin lemmalla voidaan todistaa väite: "Jos apina paukuttaa kirjoituskoneella umpimähkäisesti äärettömän pitkään, kirjoittaa se lopulta kaikki Shakespearen teokset."

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (1996).
  • Gustav Elfving ja Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II. Limes ry (1990).
  • Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).
  • Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto (1998).
  • Tommi Sottinen: Todennäköisyysteoria, (2006)

Aiheesta muuallaMuokkaa