Borel-joukko

Borel-joukot muodostavat matematiikassa laajan kokoelman joukkoja, joihin kuuluu mm. avoimet, suljetut, kompaktit, - ja -joukot. Borel-joukkoja käytetään paljon erityisesti mittateoriassa helpon lähestyttävyyden vuoksi. Esimerkiksi avaruudessa Borel-joukot muodostavat hyvin laajan Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelman.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   topologinen avaruus. Kutsumme kokoelmaa

 

joukon   Borelin perheeksi. Tämän perheen alkioita kutsutaan Borel-joukoiksi. Borelin perhe on siis määritelmänsä mukaan suppein niistä joukon   sigma-algebroista, jotka sisältävät  :n avoimet joukot eli topologian  . Erityisesti Borelin perhe on  :n topologian virittämä sigma-algebra  .

EsimerkkejäMuokkaa

Reaalilukujen joukon   osajoukoista Borelin joukkoja ovat muun muassa:

  •   itse
  • kaikki avoimet, puoliavoimet ja suljetut välit
  • kaikki muotoa  ,  ,   tai   olevat rajoittamattomat välit
  • kaikki muutkin  :n avoimet ja suljetut joukot
    • esimerkiksi kaikki joukot, joissa on vain äärellinen tai numeroituva määrä alkioita tai joiden ulkopuolelle jää vain äärellinen tai numeroituva määrä reaalilukuja
  • kaikki avoimien joukkojen numeroituvat leikkaukset ja suljettujen joukkojen numeroituvat yhdisteet.[1]

Itse asiassa ei olekaan helppo muodostaa esimerkkiä  :n osajoukosta, joka ei ole Borelin joukko.[1] Kuitenkin Borelin joukot muodostavat vain pienen osan  :n kaikista osajoukoista. Kaikkien Borelin joukkojen joukon mahtavuus nimittäin on sama kuin  :n (kontinuumin mahtavuus), kun taas  :n kaikkien osajoukkojen joukon mahtavuus on aidosti suurempi.[2]

 :n Borelin joukoilla on keskeinen merkitys muun muassa toden­näköisyys­laskennassa. Toden­näköisyys­kentissä, joiden perusjoukkona on  , on todennäköisyys määriteltävissä vain niille  :n osajoukoille, jotka ovat Borelin joukkoja.

OminaisuuksiaMuokkaa

Voidaan osoittaa, että jokainen avaruuden   avoin joukko on Lebesgue-mitallinen. Tästä seuraa, että jokainen  :n Borel-joukko on Lebesgue-mitallinen eli

 

Nimittäin mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran   ja Borelin perhe   on saatu leikkaamalla kaikki ne sigma-algebrat, jotka sisältävät avoimet joukot.

Koska Borelin perhe on sigma-algebra, joka sisältää kaikki avoimet joukot, niin se sisältää myös kaikki suljetut joukot. Lisäksi sigma-algebran ominaisuuksista näemme, että Borelin perhe sisältää myös kaikki numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset avoimista ja suljetuista joukoista. Tästä seuraa, että leikkaamalla, yhdistämällä ja komplementoimalla saadaan lukemattomia erilaisia joukkoja. Siksi on itse asiassa vaikea konstruoida joukkoa, joka ei ole Borel. Ei-Borel-joukkoja on kuitenkin olemassa. Tällainen saadaan muun muassa seuraavalla esimerkillä, jonka vaiheiden perustelut löytyvät tarkemmin lähteestä:[3]

Olkoon   ja   (yleisiä) Cantorin joukkoja  :ssä. Oletetaan, että esimerkiksi   positiivimittainen ja   on nollamittainen. Tällöin Lebesguen ulkomitan ominaisuuksista seuraa, että   sisältää ei-Lebesgue-mitallisen joukon  . Koska Cantorin joukot ovat keskenään homeomorfisia, niin on olemassa homeomorfismi  . Tästä seuraa, että joukko   ei itse asiassa ole Borel-joukko. Nimittäin jos se olisi Borel, niin olisi funktion f jatkuvuuden nojalla joukko   Borel (homeomorfismit ovat erityisesti jatkuvia, joten ne ovat Borel-kuvauksia). Toisaalta funktion f bijektiivisyyden nojalla  , joten joukko A olisi tällöin Borel. Tämä on mahdotonta, sillä oletimme, että A ei ole Lebesgue-mitallinen joukko ja siis ei erityisesti Borel-joukkokaan. Toisaalta voidaan osoittaa, että se taasen on mm. Lebesgue-mitallinen, mikä osoittaa sen, että Borelin perhe   on aito osajoukko Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelmasta  .

Borel-mitat ja Borel-ulkomitatMuokkaa

  • Topologisen avaruuden   mitta   on Borel-mitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat mitallisia eli mitan sigma-algebran alkioita.
  • Topologisen avaruuden   ulkomitta   on Borel-ulkomitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat  -mitallisia.
  • Lisäksi määritellään, että Borel-ulkomitta   on Borel-säännöllinen jos ja vain jos jokaista   kohti on olemassa Borel-joukko  , jolla  .

Ulkomitan Borel-säännöllisyys tuo esille Borel-joukkojen kätevyyden mittateoriassa. On mahdollista, että esimerkiksi todistaessa jollekin patologiselle joukolle jotain sen mitan avulla voi olla suoraan vaikeaa, sillä mitta on vaikeasti laskettavissa, mutta käyttämällä sitä Borel-joukkoa, joka peittää tämän joukon ja on samanmittainen, niin tilanne voi helpottua huomattavasti. Esimerkiksi joukon mitallisuus voidaan Borel-säännöllisen ulkomitan tapauksessa todistaa pelkästään Borel-joukkoja hyväksikäyttäen.

Borel-ulkomitat voidaan karakterisoida toisella tavalla metrisissä avaruuksissa. Jos siis edellä mainittu topologia   metristyvä, ts. on olemassa jokin joukon   metriikka   siten, että  , niin jokainen tämän topologian ulkomitta   on Borel jos ja vain jos ehdosta

 

seuraa ominaisuus

 

kaikilla  .

Borel-funktiotMuokkaa

Olkoon   topologinen avaruus ja joukko  . Kutsumme funktiota   Borel-funktioksi jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on Borel-joukko.

Tämä määritelmä voidaan myös lausua muodossa: joukko   on Borel-joukko ja joukko

 

on Borel-joukko kaikilla  . Borel-funktioita kutsutaan joskus kirjallisuudessa Bairen funktioiksi.

Voidaan osoittaa, että jokainen jatkuva kuvaus on Borel-kuvaus. Lisäksi jokaisessa Borel-kuvauksessa jokaisen Borel-joukon alkukuva on Borel.

Lisäksi jos annettu topologia   on metristyvä, niin voidaan osoittaa, että jokainen tämän topologian Borel-funktio on mitallinen jokaisen Borel-mitan suhteen.

LähteetMuokkaa

  1. a b Pekka Tuominen, Pekka Norlamo: ”Todennäköisyskentät perusjoukkona R”, Todennäköisyyslaskenta, osa 1, s. 248. Limes ry, 1978. ISBN 951-745-023-0.
  2. Borel set Encyclopedia of Mathematics. Viitattu 9.6.2018.
  3. Olli Lehto: Reaalifunktioiden teoria, Limes ry, 1975, ISBN 951-745-044-3

KirjallisuuttaMuokkaa