Avaa päävalikko

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   joukko. Kuvaus   on ulkomitta jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

  1. Tyhjälle joukolle pätee   [1]
  2. Jos  , niin   [1]
  3. Jos   kaikilla  , niin  . [1]

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä monotonisuudeksi tai kasvavuudeksi ja ehtoa (3) subadditiivisuudeksi. [1]

Joukon mitallisuusMuokkaa

Jos   on ulkomitta  :ssä, niin joukkoa   kutsutaan  -mitalliseksi jos ja vain jos kaikilla   pätee

 .

Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein Carathéodoryn ehdoksi.

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää

 

missä X ilmaisee perusjoukon ja   joukossa annetun ulkomitan.

Ulkomitan ominaisuuksiaMuokkaa

Jos   ovat  -mitallisia joukkoja, niin

 .

Jos   ovat  -mitallisia joukkoja ja  , niin

 .

Jos joukot  ,  , ovat  -mitallisia ja erillisiä, niin

 .

Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

Carathéodoryn lauseMuokkaa

Carathéodoryn lause lause sanoo, että jos   on ulkomitta, niin sen rajoittuma  -mitallisiin joukkoihin eli funktio   on mitta X:ssä.

Erityisiä ulkomittojaMuokkaa

  • Ulkomittaa sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.
  • Ulkomitta   on säännöllinen jos ja vain jos jokaisella   on olemassa  -mitallinen joukko   s.e.   ja  . Jos vielä  , niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko   on  -mitallinen jos ja vain jos
     .
  • Jos   on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa   sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta
     
    seuraa ominaisuus
     
    kaikilla  . Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

Funktion mitallisuusMuokkaa

Jos   on ulkomitta joukossa X ja  , niin funktio   on  -mitallinen jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa f ovat  -mitallisia. Toisin sanoen joukot  ,   ja   ovat  -mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla  .

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on  -mitallinen jos ja vain jos joukko

 

on  -mitallinen kaikilla  .

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e Jalava, Väinö: Moderni analyysi I, s. 44–48. Tampere: Tampereen teknillinen korkeakoulu, 1976. ISBN 951-720-223-7.
  2. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.