Carathéodoryn konstruktio

Carathéodoryn konstruktio on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten esimittojen avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   metrinen avaruus. Olkoon   kokoelma  :n osajoukkoja ja kuvaus   (ns. esimitta). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle   on olemassa joukot  ,  , I on numeroituva siten, että

  ja  .

(2) Jokaiselle   on olemassa joukko   siten, että

  ja  .

Olkoon nyt   kiinteä. Määritellään, että joukon    -peite on mikä tahansa numeroituva osakokoelma  , jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma   on joukon A peite, eli pätee  ,

- läpimitta   jokaisella  .

Määritellään nyt funktio  

 .

Edellä annettu ehto (1) takaa  -peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus   on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio   on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että   ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos  , niin   kaikilla  . Toisin sanoen kuvaus   on kasvava  :aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla   on olemassa raja-arvo  . Määrittelemmekin nyt siis funktion  

 .

Koska funktiot   ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio   on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio   rajoitettuna  -mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman   jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että   on itse asiassa Borel-säännöllinen.

SovelluksiaMuokkaa

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi   kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman   ja asetamme funktion   kaavaksi  ,  , niin saatu funktio   ja siis  .

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen  . Olkoon   luonnollinen luku, jolla  . Asetetaan kokoelmaksi    :n Borelin perhe  . Määritellään parametrille   esimitta  ,

 

ja

 ,

missä

  (ns. Grassmannin avaruus)

ja jokaiselle   kuvaus   on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle  . Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden   varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla  .

Näillä esimitoilla   saatuja Borelin mittoja  , joita merkitään symboleilla  , kutsutaan (m-ulotteisiksi) integraaligeometrisiksi mitoiksi parametrilla t.