Topologia (matematiikka)

Tämä artikkeli käsittelee matematiikan osa-aluetta. Katso täsmennyssivu muille merkityksille.

Topologia on matematiikan alue, joka käsittelee topologisiksi avaruuksiksi kutsuttuja pistejoukkoja ja niiden sellaisia ominaisuuksia, jotka säilyvät homeomorfismeissa, toisin sanoen sellaisissa jatkuvissa bijektiivisissä kuvauksissa, joiden käänteiskuvaukset ovat myös jatkuvia. ^[1]

Tyypillisiä topologisia ominaisuuksia ovat kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo sekä alueen yhtenäisyys, samoin alueessa mahdollisesti olevien "reikien" lukumäärä. Sen sijaan monet tärkeät geometriset käsitteet kuten etäisyydet ja kulmat eivät ole topologisia käsitteitä, sillä ne eivät yleensä säily homeomorfismeissa.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat eli homeomorfiset, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muunnoksella"

Avoimet joukot ja topologia

On osoittautunut, että kaikki topologiset käsitteet voidaan määritellä avoimen joukon käsitteen avulla. Tämän vuoksi tämä käsite on nykyisin otettu topologian peruskäsitteeksi. Teknisenä terminä topologialla tarkoitetaan sellaista kokoelmaa ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ jonkin perusjoukon osajoukkoja, joka täyttää seuraavat ehdot:

Koko perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen,
Se sisältää joukkojensa mielivaltaiset yhdisteet, ja
Se sisältää joukkojensa äärelliset leikkaukset.^[2]

Tällöin kyseisen kokoelman ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ alkioita $U\in {\mathcal {T}}$ sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria $(X,{\mathcal {T}})$ topologiseksi avaruudeksi.

Diskreettitopologia ja minitopologia

Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden $X$ topologiaan kuuluvat ainakin alkiot $\emptyset$ ja $X$ . Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös $X$ :n potenssijoukko ${\mathcal {P}}(X)$ on eräs $X$ :n topologia, diskreetti topologia. Siten $X$ :n indiskreettitopologia on aina $X$ :n diskreetin topologian osajoukko.

Saman avaruuden topologiat

Yleisesti jos $T_{1}$ ja $T_{2}$ ovat joukon $X$ kaksi topologiaa ja $T_{1}\subset T_{2}$ , sanotaan että $T_{1}$ on karkeampi eli heikompi kuin $T_{2}$ . Vastaavasti topologia $T_{2}$ on hienompi eli vahvempi kuin $T_{1}$ . Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.

Metrisen avaruuden topologia

Jokainen metrinen avaruus eli joukko, jossa kahden pisteen välille on määritelty etäisyys, metriikka, on samalla topologinen avaruus. Tällöin avoimia joukkoja eli perusjoukon topologiaan kuuluvia joukkoja ovat ne, joissa joukon jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan kuuluu kyseiseen joukkoon, toisin sanoen jokaista joukon pistettä x kohti voidaan valita sellainen positiivinen luku $\epsilon$ , että jos d (x, y) < $\epsilon$ , niin y kuuluu myös kyseiseen joukkoon. Tällaisten avointen joukkojen muodostamaa topologiaa sanotaan kyseisen metriikan määräämäksi topologiaksi.

Samassa joukossa voidaan kuitenkin määritellä useita täysin eri metriikkoja, jotka määräävät saman topologian. Metriikka sinänsä ei olekaan avaruuden topologinen ominaisuus. Toisaalta on olemassa topologisia avaruuksia, joiden topologiaa ei voida määrätä minkään metriikan avulla; tällaiset avaruudet eivät ole metristyviä.

Esimerkkejä

Reaalilukujen joukossa $\mathbb {R}$ nimitetään tavanomaiseksi topologiaksi metriikan

d(x, y) = | y - x |

määräämää topologiaa. Tässä metriikassa siis lukujen tai niitä vastaavien lukusuoran pisteiden etäisyys on yksinkertaisesti niiden erotuksen itseisarvo. Tällöin avoimia joukkoja ovat muun muassa kaikki avoimet välit sekä joukot, jotka saadaan tällaisten yhdisteinä. Vastaavasti jokaisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$ tavanomaiseksi topologiaksi nimitetään luonnollisen metriikan

d((x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+...+(y_{n}-x_{n})^{2}}}

määräämää topologiaa.

Näissä tapauksissa kaikki avointen joukkojen avulla määriteltävät topologiset käsitteet kuten kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo osoittautuvat yhtäpitäväksi sen kanssa, miten vastaavat käsitteet voidaan määritellä lukujen erotuksen tai avaruuden pisteiden etäisyyden avulla.

Historia

Topologian alaan kuuluvia käsitteitä käytettiin differentiaali- ja integraalilaskennassa jo 1600-luvulla. Seuraavalla vuosisadalla muun muassa Leonhard Euler käsitteli eräissä artikkeleissaan topologian alaan kuuluvia kysymyksiä.^[3] ^[4]

Järjestelmällisesti topologiaa alettiin kuitenkin kehittää vasta 1800-luvun lopulla. Avoimen joukon käsitteen otti euklidisissa avaruuksissa käyttöön Georg Cantor 1880-luvulla. ^[1] Metrisen avaruuden käsitteen määritteli Fréchet vuonna 1906. ^[1] Topologisen avaruuden käsitteen määritteli periaatteessa ensimmäisenä Hausdorff vuonna 1914, joskin hänen antamaansa määritelmään sisältyi eräs lisäehto, jonka täyttäviä avaruuksia sanotaan nykyään Hausdorff-avaruuksiksi. ^[1] Yleisemmän topologisen avaruuden käsitteen, jossa tämä lisäehto ei välttämättä ole voimassa, määritteli Kazimierz Kuratowski vuonna 1922.

Käsitteitä

Eräitä topologian alaan kuuluvia erityiskysymyksiä

Lähteet

Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8
Väisälä, Jussi: Topologia II. Limes ry, 1999. ISBN 951-745-185-7
Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: Topologia. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7
Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (Opintomoniste 15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
Lipschutz, Seymour: General Topology. (Schaum's outlines) McGraw-Hill, 1977. ISBN 0-07-037988-2
Bergamini, David: Lukujen maailma. Suomentanut Pertti Jotuni. Sanoma Osakeyhtiö, 1972.
Hart, Michael H.: Ihmiskunnan 100 suurinta, Maailmanhistorian sata merkittävintä henkilöä tärkeysjärjestyksessä. Suomentanut Risto Mäenpää. Artefakti, 1979. ISBN 951-99229-1-1

Viitteet

↑ ^a ^b ^c ^d Suominen & Vala: Topologia, Johdanto, s. 1–2
↑ Väisälä 2012, 32
↑ Hart, s. 386
↑ Bergamini, s. 188

Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Topologia (matematiikka) Wikimedia Commonsissa

[s1-1] Suominen & Vala: Topologia, Johdanto, s. 1–2

[Vaisala_2012_I_32-2] Väisälä 2012, 32

[3] Hart, s. 386

[4] Bergamini, s. 188

[1]

[2]

[3]

[4]