Avaa päävalikko

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä[1]Muokkaa

Metrinen avaruus on pari  , missä   on joukko ja   kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon   alkioilla  ,   ja   toteuttaa ehdot

  1.  
  2.   jos ja vain jos  
  3.  
  4.   (kolmioepäyhtälö).[2]

Metristä avaruutta   kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi  , jos käytössä oleva metriikka   on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden   alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua   pisteiden   ja   väliseksi etäisyydeksi.

EsimerkkejäMuokkaa

  • Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa   voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä   jos   ja   muutoin.
  • Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan  .
  • Jokaisessa joukossa   tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden   ja   välinen etäisyys on
 

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

  • Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos   on normiavaruus, niin funktio   määrää metriikan joukkoon X.
  • Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

MääritelmiäMuokkaa

Kuulat ja pallotMuokkaa

Olkoon   metrinen avaruus,   ja  . Tällöin joukkoa

 

kutsutaan avaruuden    -keskiseksi  -säteiseksi avoimeksi kuulaksi.[2] Toisin sanoen,   on niiden pisteiden   joukko, joiden etäisyys pisteestä   on aidosti pienempi kuin  . Joukkoa   kutsutaan myös pisteen   kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

 

ja

 

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden   metriikasta  , ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä  .

Avoin ja suljettu joukko[3]Muokkaa

Avaruuden   osajoukko   on avoin, jos jokaisella pisteellä   on kuulaympäristö   siten, että  . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään  :n topologian, ns. tavallisen topologian  ; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden   topologiaa   metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin  :n metriikka   siten, että  .[2]

Joukko   on suljettu, jos sen komplementti   on avoin. Joukko   voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukkoMuokkaa

Metrisen avaruuden   osajoukkoa   sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde  , että   kaikilla  . Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.[2]

Pisteen etäisyys joukostaMuokkaa

Metrisen avaruuden pisteen   etäisyys joukosta   on lyhin etäisyys pisteestä   johonkin joukon   pisteeseen, toisin sanoen

 .

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Royden, H.L.: ”7 Metric Spaces”, Real Analysis, s. 139. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)
  2. a b c d Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 35–36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  3. Royden, H.L.: ”7.2 Open and Closed Sets”, Real Analysis, s. 141–142. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa