Metriikka (matematiikka)

Metriikka eli etäisyysfunktio kertoo joukon pisteiden välisen etäisyyden ja tekee joukosta metrisen avaruuden.[1]

Tasolle voidaan määrittää esimerkiksi euklidisen metriikan mukainen etäisyys (vihreä viiva) ja Manhattan-etäisyys (muut värit). Suoraviivaisesti liikkuen mustien pisteiden etäisyys on aina 12, mutta vihreää viiva pitkin suorin etäisyys on taas .

Joukon metriikka on funktio , joka kaikilla joukon alkioilla toteuttaa ehdot

  1. jos ja vain jos
  2. (symmetrisyys)
  3. (kolmioepäyhtälö).

Esimerkkejä tasossa

muokkaa

Joukon pisteitä merkitään tässä   ja  .

  • Tavallinen euklidinen etäisyys tasossa:  .
  • "Manhattan-etäisyys"  . Nimi tulee ajoreitistä kaupungissa, jossa on neliön muotoisia kortteleita.
  • Tšebyšovin etäisyys  .
  • Yleisemmin kun   on reaaliluku ja vähintään 1, on   metriikka; euklidinen etäisyys on tämän erikoistapaus  , Manhattan-etäisyys erikoistapaus   ja Tšebyšovin etäisyys eräänlainen raja-arvo äärettömyydessä.

Muita esimerkkejä

muokkaa
  • Kaikki edellisen kohdan esimerkit yleistyvät kolmiulotteiseen tilaan   ja edelleen mihin tahansa avaruuteen  .
  • Merkkijonoille on määritelty Levenšteinin etäisyys.

Esimerkkejä arkielämässä

muokkaa
  • "Nopeimman reitin vaatima aika kävellen" on usein lähestulkoon etäisyysfunktio.
    • Autolla kaupungissa sama ei aina päde, koska yksisuuntaiset kadut rikkovat symmetrian.
  • Vaalien ehdokkaiden vaalikoneisiin antamien vastausten perusteella voidaan määritellä kahden ehdokkaan vaalilupausten ja aatteellisten erojen etäisyys sillä perusteella, moneenko kysymykseen ehdokkaat vastasivat eri tavalla.
    • Huom. Varsinaisesti tällöin lasketaan kahden mahdollisen vastausrivin etäisyys, eikä ehdokkaiden välinen etäisyys. Määritelmän toisen ehdon mukaan kahden alkion etäisyys voi olla nolla jos ja vain jos alkiot ovat identtiset. Kaksi ehdokasta voi vastata kysymyksiin samalla tavalla, jolloin vastausrivit ovat identtiset ja niiden välinen etäisyys nolla, mutta ehdokkaat eivät silti ole (välttämättä) sama henkilö.

Lähteet

muokkaa
  1. Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: Topologia, s. 14–17. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7

Kirjallisuutta

muokkaa
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.