Metriikka (matematiikka)

Metriikka eli etäisyysfunktio kertoo joukon pisteiden välisen etäisyyden ja tekee joukosta metrisen avaruuden.

Tasolle voidaan määrittää esimerkiksi euklidisen metriikan mukainen etäisyys (vihreä viiva) ja Manhattan-etäisyys (muut värit). Suoraviivaisesti liikkuen mustien pisteiden etäisyys on aina 12, mutta vihreää viiva pitkin suorin etäisyys on taas $6{\sqrt {2}}\approx 8,49$.

Joukon $A$ metriikka on funktio $d:A\times A\to \mathbf {R}$, joka kaikilla joukon $A$ alkioilla $x,y$ toteuttaa ehdot

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0$ jos ja vain jos $x=y$
3. $d(y,x)=d(x,y)$ (symmetrisyys)
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (kolmioepäyhtälö).

Esimerkkejä tasossa $\mathbb {R} ^{2}$

Joukon pisteitä merkitään tässä $(x_{1},y_{1})$ ja $(x_{2},y_{2})$.

• Tavallinen euklidinen etäisyys tasossa: ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$.
• "Manhattan-etäisyys" $\vert x_{1}-x_{2}\vert +\vert y_{1}-y_{2}\vert$. Nimi tulee ajoreitistä kaupungissa, jossa on neliön muotoisia kortteleita.
• Tšebyšovin etäisyys $max(\vert x_{1}-x_{2}\vert ,\vert y_{1}-y_{2}\vert )$.
• Yleisemmin kun $p$ on reaaliluku ja vähintään 1, on ${\sqrt[{p}]{\vert x_{1}-x_{2}\vert ^{p}+\vert y_{1}-y_{2}\vert ^{p}}}$ metriikka; euklidinen etäisyys on tämän erikoistapaus $p=2$, Manhattan-etäisyys erikoistapaus $p=1$ ja Tšebyšovin etäisyys eräänlainen raja-arvo äärettömyydessä.

Muita esimerkkejä

• Kaikki edellisen kohdan esimerkit yleistyvät kolmiulotteiseen tilaan $\mathbb {R} ^{3}$ ja edelleen mihin tahansa avaruuteen $\mathbb {R} ^{n}$.
• Merkkijonoille on määritelty Levenšteinin etäisyys.

Esimerkkejä arkielämässä

• "Nopeimman reitin vaatima aika kävellen" on usein lähestulkoon etäisyysfunktio.
  • Autolla kaupungissa sama ei aina päde, koska yksisuuntaiset kadut rikkovat symmetrian.
• Vaalien ehdokkaiden vaalikoneisiin antamien vastausten perusteella voidaan määritellä kahden ehdokkaan vaalilupausten ja aatteellisten erojen etäisyys sillä perusteella, moneenko kysymykseen ehdokkaat vastasivat eri tavalla.
  • Huom. Varsinaisesti tällöin lasketaan kahden mahdollisen vastausrivin etäisyys, eikä ehdokkaiden välinen etäisyys. Määritelmän toisen ehdon mukaan kahden alkion etäisyys voi olla nolla jos ja vain jos alkiot ovat identtiset. Kaksi ehdokasta voi vastata kysymyksiin samalla tavalla, jolloin vastausrivit ovat identtiset ja niiden välinen etäisyys nolla, mutta ehdokkaat eivät silti ole (välttämättä) sama henkilö.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7