Metriikka (matematiikka)

Metriikka eli etäisyysfunktio kertoo joukon pisteiden välisen etäisyyden ja tekee joukosta metrisen avaruuden.

Joukon $A$ metriikka on funktio $d:A\times A\to \mathbf {R}$, joka kaikilla joukon $A$ alkioilla $x,y$ toteuttaa ehdot

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0$ jos ja vain jos $x=y$
3. $d(y,x)=d(x,y)$ (symmetrisyys)
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (kolmioepäyhtälö).

Esimerkkejä tasossa $\mathbb {R} ^{2}$

Joukon pisteitä merkitään tässä $(x_{1},y_{1})$ ja $(x_{2},y_{2})$.

• Tavallinen euklidinen etäisyys tasossa: ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$.
• "Manhattan-etäisyys" $\vert x_{1}-x_{2}\vert +\vert y_{1}-y_{2}\vert$. Nimi tulee ajoreitistä kaupungissa, jossa on neliön muotoisia kortteleita.
• Tšebyšovin etäisyys $max(\vert x_{1}-x_{2}\vert ,\vert y_{1}-y_{2}\vert )$.
• Yleisemmin kun $p$ on reaaliluku ja vähintään 1, on ${\sqrt[{p}]{\vert x_{1}-x_{2}\vert ^{p}+\vert y_{1}-y_{2}\vert ^{p}}}$ metriikka; euklidinen etäisyys on tämän erikoistapaus $p=2$, Manhattan-etäisyys erikoistapaus $p=1$ ja Tšebyšovin etäisyys eräänlainen raja-arvo äärettömyydessä.

Muita esimerkkejä

• Kaikki edellisen kohdan esimerkit yleistyvät kolmiulotteiseen tilaan $\mathbb {R} ^{3}$ ja edelleen mihin tahansa avaruuteen $\mathbb {R} ^{n}$.
• Merkkijonoille on määritelty Levenšteinin etäisyys.

Esimerkkejä arkielämässä

• "Nopeimman reitin vaatima aika kävellen" on usein lähestulkoon etäisyysfunktio.
  • Autolla kaupungissa sama ei aina päde, koska yksisuuntaiset kadut rikkovat symmetrian.
• Vaalien ehdokkaiden vaalikoneisiin antamien vastausten perusteella voidaan määritellä kahden ehdokkaan vaalilupausten ja aatteellisten erojen etäisyys sillä perusteella, moneenko kysymykseen ehdokkaat vastasivat eri tavalla.
  • Varsinaisesti tällöin lasketaan kahden mahdollisen vastausrivin etäisyys. Toinen ehto ei toteutuisi, jos kaksi ehdokasta vastaisi täysin samoin ja mitattaisiin nimenomaan ehdokkaiden etäisyyttä.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.