Kompaktius

Kompaktius on yksi topologian peruskäsitteistä. Kompakti avaruus X on sellainen joukko, että sen jokaisella avoimella peitteellä eli avoimista joukoista koostuvalla peitteellä on äärellinen osapeite.

Kompaktin avaruuden suljettu osajoukko on kompakti, ja kompaktin joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on kompakti. Jos X on kompakti eikä ole tyhjä joukko ja $f:X\to \mathbb {R}$ on jatkuva, niin tällöin f saa X:ssä suurimman ja pienimmän arvonsa.

Kompakti avaruus on Lindelöf, ja kompakti metristyvä avaruus on N₂. Ascolin lauseen mukaan yhtäjatkuvien kuvausten joukossa W on jokaisella W:n jonolla osajono joka suppenee tasaisesti kompaktin joukon jokaisessa kompaktissa osajoukossa.

Usein hyödyllinen tulos on Heinen–Borelin lause: $\mathbb {R} ^{n}$:n normitopologialla varustettu osajoukko on kompakti tarkalleen silloin kun se on suljettu ja rajoitettu. Erityisesti jokainen reaalilukujen suljettu väli on kompakti.

Historia ja motivaatio

Käsitteen kompaktius esitti Fréchet vuonna 1906. Tätä ennen oli jo pitkään huomattu, että kompaktin avaruuden tyyppinen käsite on välttämätön useiden hyödyllisten teoreemojen todistamisessa. Tällöin useimmiten kompaktiudella tarkoitettiin "jonokompaktiutta" (jokaisella jonolla on suppeneva osajono). Näitä ideoita käytettiin lähinnä metrisiä avaruuksia tutkittaessa. "Peitekompaktius" osoittautui vielä lupaavammaksi, sillä sen avulla päästiin tutkimaan yleisiä topologisia avaruuksia, jolloin useat metristä avaruutta koskevat tulokset voitiin yleistää topologisille avaruuksille. Tämä on erityisen hyödyllistä funktioavaruuksia tutkittaessa, sillä useimmat näistä eivät ole metrisiä.

Yksi syy opiskella kompaktien joukkojen topologiaa on se, että ne ovat tietyllä tapaa samanlaisia kuin äärelliset joukot. Monet äärellisiä joukkoja koskevat tulokset yleistyvät pienillä muutoksilla kompakteja avaruuksia koskeviksi tuloksiksi. Joidenkin matemaatikkojen mielestä "kompaktius on seuraavaksi paras joukkojen ominaisuus äärellisyyden jälkeen". Esimerkiksi on voimassa

• Olkoon X Hausdorff ja valitaan X:stä piste x sekä äärellinen osajoukko A, joka ei sisällä x:ää. Nyt x:lle ja A:lle voidaan löytää erilliset ympäristöt, olkoon x:n ympäristö U(x) ja A:n pisteen a ympäristö V(a). Tällöin leikkaus kaikista U(x) ja yhdiste kaikista V(a) ovat vaaditut x:n ja A:n ympäristöt.

Huomaa, että jos A on ääretön, ei lause ole välttämättä voimassa mielivaltaisen monelle ympäristölle, sillä leikatessa joukkoja voi jokin x:n ympäristö leikkautua kokonaan pois. Väite on kuitenkin voimassa, jos A on kompakti: Otetaan äärellinen A:n osapeite {V(a)}. Tällä tavoin nähdään, että Hausdorffin avaruudessa jokainen piste voidaan erottaa ympäristöllä kompakteista joukoista, joka ei sisällä kyseistä pistettä. Toistamalla päättelyä nähdään, että kaksi erillistä kompaktia joukkoa voidaan Hausdoffin avaruudessa erottaa ympäristöillä. Tässä siis ikään kuin äärellisen joukon alkio on korvattu kompaktilla joukolla Hausdorffin avaruudessa.

Määritelmät

Rⁿ:n osajoukkojen kompaktius:

Jokaiselle Rⁿ:n osajoukolle A seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:

• Jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite.
• Jokaisella A:n jonolla on osajono, joka suppenee kohti jotakin A:n pistettä.
• Jos A on ääretön, on A:ssa vähintään yksi kasautumispiste.
• A on suljettu ja rajoitettu.

Huomaa, että ehdot eivät ole välttämättä keskenään yhtäpitäviä yleisessä topologisessa avaruudessa.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2

Aiheesta muualla

• Kompaktius topologisissa avaruuksissa