Funktioavaruus
Funktioavaruus on tiettyjen joukkojen X ja Y välisten funktioiden muodostama joukko. Funktioavaruutta kutsutaan avaruudeksi, koska se on monissa sovelluksissa joko topologinen avaruus tai vektoriavaruus (tai molempia).
Funktioavaruudet ovat yleisiä monilla matematiikan osa-alueilla, sillä monet lukuavaruuksien ja niiden välisten funktioiden ominaisuudet pätevät jossain muodossa myös funktioavaruuksilla ja funktioita kuvaavilla funktioilla, eli operaattoreilla tai funktionaaleilla.
Erilaisia funktioavaruuksia tutkitaan erityisesti matemaattisen analyysin eri osa-alueilla, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa ja topologiassa. Funktioavaruuksia käytetään myös fysiikassa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa hiukkaset voidaan ajatella funktioiksi sopivassa Hilbertin avaruudessa.[1]
Esimerkkejä
muokkaa- Topologiassa funktioavaruutta voidaan ajatella joukkojen ja tulojoukkona , sillä millä tahansa funktiolla jokainen "indeksoi" jonkin alkion (jota merkitään yleensä ).[2] Vastaavasti esimerkiksi jokaista vektoria voidaan myös ajatella funktiona .
- Lineaarialgebrassa enintään -asteisten polynomien joukko on -ulotteinen funktioiden vektoriavaruus.
- Lebesguen avaruudet eli -avaruudet ovat klassinen esimerkki funktioavaruuksista, jotka ovat täydellisiä normiavaruuksia, eli Banach-avaruuksia.[3]
- Sileiden funktioiden joukko, eli -kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko ja äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko .[4]
Funktionaalianalyysi
muokkaaFunktionaalianalyysi on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan erityisesti ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, niiden ominaisuuksia ja kuvauksia.[3] Monet tällaiset avaruudet ovat joko lukujono- tai funktioavaruuksia. Esimerkiksi operaattorin ominaisuudet (kuten jatkuvuus) riippuvat funktioavaruuden ominaisuuksista.
Lähteet
muokkaa- ↑ Jenann Ismael: Quantum Mechanics Department of Philosophy, Stanford University. Viitattu 10.9.2023.
- ↑ Jussi Väisälä: Topologia II. 3 painos. Suomi: Limes ry, 2015.
- ↑ a b Kari Astala, Petteri Piiroinen ja Hans-Olav Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi (PDF) wiki.helsinki.fi. Arkistoitu 9.8.2014. Viitattu 10.9.2023. (suomeksi)
- ↑ Ilkka Holopainen: Reaalianalyysi I (PDF) (kurssimoniste) mv.helsinki.fi. (suomeksi)
Kirjallisuutta
muokkaa- Kari Astala, Petteri Piiroinen ja Hans-Olav Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi (PDF) wiki.helsinki.fi. Arkistoitu 9.8.2014. Viitattu 10.9.2023. (suomeksi)