Funktioavaruus

matematiikassa joukkojen X ja Y välisten funktioiden muodostama joukko

Funktioavaruus on tiettyjen joukkojen X ja Y välisten funktioiden muodostama joukko. Funktioavaruutta kutsutaan avaruudeksi, koska se on monissa sovelluksissa joko topologinen avaruus tai vektoriavaruus (tai molempia).

Funktioavaruudet ovat yleisiä monilla matematiikan osa-alueilla, sillä monet lukuavaruuksien ja niiden välisten funktioiden ominaisuudet pätevät jossain muodossa myös funktioavaruuksilla ja funktioita kuvaavilla funktioilla, eli operaattoreilla tai funktionaaleilla.

Erilaisia funktioavaruuksia tutkitaan erityisesti matemaattisen analyysin eri osa-alueilla, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa ja topologiassa. Funktioavaruuksia käytetään myös fysiikassa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa hiukkaset voidaan ajatella funktioiksi sopivassa Hilbertin avaruudessa.[1]

Esimerkkejä

muokkaa
  • Topologiassa funktioavaruutta voidaan ajatella joukkojen   ja   tulojoukkona  , sillä millä tahansa funktiolla   jokainen   "indeksoi" jonkin alkion   (jota merkitään yleensä  ).[2] Vastaavasti esimerkiksi jokaista vektoria   voidaan myös ajatella funktiona  .
  • Lineaarialgebrassa enintään  -asteisten polynomien joukko   on  -ulotteinen funktioiden vektoriavaruus.

Funktionaalianalyysi

muokkaa

Funktionaalianalyysi on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan erityisesti ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, niiden ominaisuuksia ja kuvauksia.[3] Monet tällaiset avaruudet ovat joko lukujono- tai funktioavaruuksia. Esimerkiksi operaattorin ominaisuudet (kuten jatkuvuus) riippuvat funktioavaruuden ominaisuuksista.

Lähteet

muokkaa
  1. Jenann Ismael: Quantum Mechanics Department of Philosophy, Stanford University. Viitattu 10.9.2023.
  2. Jussi Väisälä: Topologia II. Suomi: Limes ry, 2015.
  3. a b Kari Astala, Petteri Piiroinen ja Hans-Olav Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi (PDF) wiki.helsinki.fi. Arkistoitu 9.8.2014. Viitattu 10.9.2023. (suomeksi)
  4. Ilkka Holopainen: Reaalianalyysi I (PDF) (kurssimoniste) mv.helsinki.fi. (suomeksi)

Kirjallisuutta

muokkaa
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.