Avaa päävalikko

Reaaliluku

(Ohjattu sivulta Reaaliluvut)
Lukusuora, johon on merkitty joitakin erityisiä reaalilukuja

Reaaliluvut voidaan kuvailla havainnollisesti eri tavoin: yksi tapa on sanoa, että niihin luetaan sekä rationaaliluvut (kuten 2 tai 2/3) että irrationaaliluvut (kuten tai neliöjuuri 2). Toinen tapa on taas havainnollistaa reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Matematiikassa tarvitaan kuitenkin täsmällistä määritelmää, joten määrittely käydään läpi tässä artikkelissa seuraavaksi.

Reaalilukujen havainnollinen määritelmäMuokkaa

Reaalilukujen joukko   koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi   ja   ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja   ja   ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan.

Vaikka tämä määritelmä kelpaa koulumatematiikkaan, se ei ole täsmällinen, koska nyt herää kysymys, mitä luku ja desimaalikehitelmä tarkoittavat. Siksi reaaliluvut määritellään nykymatematiikassa aivan toisesta lähtökohdasta.

Reaalilukujen aksiomaattinen määritelmäMuokkaa

Tarkastellaan abstraktia joukkoa  , jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku  , abstrakti kertolasku   (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio  . Algebrallinen struktuuri   on täydellinen järjestetty kunta eli reaalilukujen kunta, jos sillä on seuraavassa mainitut algebralliset ominaisuudet, järjestysominaisuudet ja täydellisyysominaisuus.

Reaalilukujen algebralliset ominaisuudetMuokkaa

(A1) Yhteenlaskun vaihdantalaki: Kaikilla   on  .
(A2) Yhteenlaskun liitäntälaki: Kaikilla   on  .
(A3) Nollan olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku  , että kaikilla   on  .
(A4) Vastaluvun olemassaolo: Jokaista reaalilukua   kohti on olemassa sellainen reaaliluku  , että  . Merkitään  .
(A5) Kertolaskun vaihdantalaki: Kaikilla   on  .
(A6) Kertolaskun liitäntälaki: Kaikilla   on  .
(A7) Ykkösen olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku  , että kaikilla   on  .
(A8) Käänteisluvun olemassaolo: Jos   ja  , niin on olemassa sellainen  , että  . Merkitään  .
(A9) Osittelulaki: Kaikilla   on  .

Reaalilukujen järjestysominaisuudetMuokkaa

(J1) Refleksiivisyys: Kaikilla   on  .
(J2) Antisymmetrisyys: Olkoon  . Jos   ja  , niin  .
(J3) Transitiivisuus: Olkoon  . Jos   ja  , niin  .
(J4) Vertailullisuus: Kaikilla   on   tai  .
(J5) Järjestyksen säilyminen yhteenlaskussa: Olkoon  . Jos  , niin  .
(J6) Ei-negatiivisuuden säilyminen kertolaskussa: Olkoon  . Jos   ja  , niin  .

Reaalilukujen täydellisyysominaisuusMuokkaa

Jos algebrallisella struktuurilla on ominaisuudet (A1)–(A9), niin kyseessä on kunta. Jos sillä on lisäksi ominaisuudet (J1)–(J6), niin se on järjestetty kunta. Paitsi reaaliluvut myös rationaaliluvut muodostavat järjestetyn kunnan. Tarvitaan siis vielä sellainen ominaisuus, joka on reaalilukujen joukolla   mutta ei ole rationaalilukujen joukolla  .

Joukon   epätyhjä osajoukko   on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen reaaliluku  , että kaikilla   on  . Tällöin   on joukon   yläraja.

(T) Täydellisyys: Joukon   jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla osajoukolla on pienin yläraja. (Toisin sanoen, jokaisen tällaisen osajoukon ylärajojen joukossa on pienin luku.)

Joukolla   ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa.

Reaalilukujen konstruointi rationaaliluvuistaMuokkaa

Kun rationaalilukujen joukko   oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen joukko   voidaan konstruoida käyttämällä Dedekindin leikkauksia tai Cauchyn jonoja. Edellinen tapa tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään sen kaikkien rationaalisten alalikiarvojen joukkona. Jälkimmäinen tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään kaikkina mahdollisina sitä kohti suppenevina rationaalilukujonoina.

Siis, kun   oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen aksioomajärjestelmälle (A1)–(A9), (J1)–(J6), (T) voidaan muodostaa malli, joten reaaliluvut "ovat olemassa". Voidaan todistaa, että kaikki tämän aksioomajärjestelmän mallit ovat keskenään isomorfisia, mikä havainnollisesti tarkoittaa, että niiden matemaattinen rakenne on täysin sama ja ne eroavat toisistaan vain merkintöjen osalta.

Reaalilukujen joukon ylinumeroituvuusMuokkaa

Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Browder, A.: Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, 1996.
  • Ebbinghaus, H-D.; Hermes, H.; Hirzebruch F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R.: Numbers. Corrected 3rd printing. Springer, 1995.
  • Lindelöf, E.: Johdatus korkeampaan analyysiin. 4. p. WSOY, 1956.
  • Merikoski, Jorma; Halmetoja, Markku; Tossavainen, Timo: Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan. Porvoo Helsinki: WSOY, 2004. ISBN 951-0-29570-1.
  • Myrberg, Lauri: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa I. 7. p. Kirjayhtymä, 1999. ISBN 951-26-0936-3.
  • Myrberg, Lauri: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa II. 4. p. Kirjayhtymä, 1995. ISBN 951-26-0994-0.
  • Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X.
  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

KirjallisuuttaMuokkaa