Avaa päävalikko

Kvaternio

Kvaterniot ovat kompleksilukujen nelikomponenttinen laajennus, jossa yhden imaginääriakselin i sijaan on käytössä kolme ei-reaalista akselia i, j ja k

Kvaterniot ovat kompleksilukujen nelikomponenttinen laajennus, jossa yhden imaginääriakselin sijaan on käytössä kolme ei-reaalista akselia ja . Kvaterniot voidaan myös ymmärtää reaaliluvun ja kolmiulotteisen vektorin yhdistelmäksi. Kvaternio on muotoa , jossa , , ja ovat reaalilukuja ja , ja ovat peruskvaternioita. Imaginääristen peruskvaternioiden laskusäännöt määrittää kaava

Reaali- ja kompleksiluvuista poiketen kvaterniot eivät ole vaihdannaisia kertolaskun suhteen. Ne muodostavat neliulotteisen lukujoukon, jota merkitään keksijänsä Hamiltonin kunniaksi merkillä . Kvaterniot keksi irlantilainen matemaatikko Sir William Rowan Hamilton[1] vuonna 1843. Myöhemmin kehitetyt vektorit ovat havainnollisempina jossain määrin syrjäyttäneet kvaterniot ja jotkut matematiikan historioitsijat pitävätkin niitä lähinnä historiallisesti merkittävinä huolimatta siitä, että niillä on monia sovelluksia eri aloilla.

Sisällysluettelo

HistoriaMuokkaa

Toisin kuin aikaisemmat lukualueen laajennukset, kvaternioita ei kehitetty tarpeesta saattaa minkääntyyppistä yhtälöä ratkeavaksi, vaan tavoitteena oli laajentaa lukualuetta kahdesta ulottuvuudesta kolmeen. Kvaterniot lopulta keksinyt matemaatikko Sir William Rowan Hamilton oli esittänyt kompleksiluvut järjestettyinä lukupareina, josta oli käsitteellisesti lyhyt matka järjestettyihin lukukolmikoihin. Hamilton etsi kompleksilukujen yleistystä, jonka avulla voitaisiin määritellä kertolasku, jolla olisi yhteys kolmiulotteiseen kiertoon samaan tapaan kuin tavallisten kompleksilukujen kertolaskulla on yhteys kiertoon kompleksitasolla. Kolmikoilla tämä ei kuitenkaan onnistu, eikä Hamiltonin onnistunut määritellä luvuille   kertolaskua, joka vastaisi vektorin kiertoa, ja voidaankin osoittaa että tämä ei ole edes mahdollista.

Ratkaisu löytyi reaalilukunelikoista, kvaternioista. Hamiltonin itsensä mukaan hän keksi kvaternioiden ominaisuudet määrittävän peruskaavan   yhtäkkisesti ollessaan vaimonsa kanssa kävelyllä. Tarinan (erään version) mukaan hän kaiversi kaavan saman tien läheisen Broughamin sillan erääseen kiveen. Hamiltonin määritelmän mukaan kvaternioiden kertolasku ei ollut vaihdannainen, esimerkiksi   , vaan  . Tämä oli aikanaan radikaalia eikä kvaternioita tämän vuoksi aina hyväksytty kunnolla. Ne olivat ensimmäisiä askelia kohti "algebran vapautumista", eli järjestelmien, joissa tavalliset laskulait – liitäntä-, vaihdanta-, ja osittelulaki – eivät ole voimassa, tutkimuksen alkamista. Geometriassa samankaltainen "vapautuminen" oli tapahtunut epäeuklidisten geometrioiden myötä.

Kvaterniot eivät kuitenkaan koskaan saavuttaneet kovin suurta suosiota.lähde? 1900-luvun puoliväliin tultaessa muun muassa Oliver Heavisiden ja Willard Gibbsin kehittämät vektorialgebra ja -analyysi olivat syrjäyttäneet kvaterniot lähes kokonaan, huolimatta siitä että kvaternioiden merkintätapa oli Hamiltonin seuraajien mielestä vektoreihin verrattuna ylivertainen. Kvaterniot ovat kuitenkin vektoreita vaikeammin yleistettävissä useampaan kuin kolmeen ulottuvuuteen.

Nykyään kvaternioita käytetään tietokonegrafiikassa ja siihen liittyvässä geometrisessa tutkimuksessa kiertojen ja esineiden suunnan esittämiseen, sillä ne vaativat muita esitystapoja kuten matriiseja vähemmän tilaa ja niiden laskutoimitukset ovat tehokkaampia.

Merkintätapa ja peruslaskutoimituksetMuokkaa

Kvaternio on järjestetty reaalilukunelikko  . Peruskvaterniota   vastaa reaaliluku 1, kun taas peruskvaternioille  ,   ja   on annettu symbolit  ,   ja  .

Skalaarilla kertominenMuokkaa

Kvaternion kertominen skalaarilla eli reaaliluvulla on vaihdannainen operaatio ja vastaa vektorin kertomista skalaarilla:

 

Yhteen- ja vähennyslaskuMuokkaa

Kvaternioiden yhteen- ja vähennyslaskut ovat analogisia vektorien yhteen- ja vähennyslaskujen kanssa:

 
 

Yhteenlasku on vaihdannainen. Kvaternion vastaluku on

Yllä olevia laskusääntöjä käyttäen voidaan kvaterniot esittää peruskvaternioiden summana:

   
 

KertolaskuMuokkaa

Kvaternioiden kertolasku ei ole vaihdannainen, mutta olettamalla että se on assosiatiivinen (kuten se onkin), voidaan Hamiltonin kaavasta

 

johtaa seuraava peruskvaternioiden kertotaulu:

         
         
         
         
         

Mielivaltaisten kvaternioiden   ja   kertolasku voidaan laskea yllä olevilla säännöillä:

   
 

JakolaskuMuokkaa

Kvaternioiden jakolaskun määrittelemiseksi määritellään ensin kvaternion   konjugaatti eli liittoluku   ja huomataan, että kun kvaternio kerrotaan liittoluvullaan, saadaan kvaternion modulin eli itseisarvon   neliö:

 

Kvaternioiden jakolasku voidaan muuttaa kertolaskuksi laventamalla nimittäjän liittoluvulla:

 

Kvaternion argumentti ja merkkifunktioMuokkaa

Kvaternion   argumentti   on kvaternion ja yksikköskalaarin 1 välinen kulma ja se lasketaan

 

Kvaternion merkkifunktio   palauttaa kvaternion suuntaisen yksikkökvaternion ja se lasketaan

 

VektoriesitysMuokkaa

Kun rinnastetaan kvaternio (1,0,0,0) reaalilukuun 1 ja peruskvaterniot  ,  ,   suorakulmaisen kolmiulotteisen koordinaatiston yksikkövektoreihin, voidaan kvaterniot esittää skalaarin ja vektorin summana:

 

Kvaterniota jonka skalaariosa  , kutsutaan puhtaaksi kvaternioksi, vektorikvaternioksi tai yksinkertaisesti vektoriksi. Vastaavasti kvaternio, jonka vektoriosa on nolla, on skalaarikvaternio tai pelkkä skalaari. Kvaterniotulon ja vektoreille määriteltyjen piste- ja ristitulon välillä on yhteys

 ,

jossa

  ja  .

Kun  , eli kun kvaterniot   ja   ovat vektoreita, sieventyy kvaterniotulon lauseke muotoon

 ,

josta saadaan risti- ja pistetulolle identiteetit

     ja     

Kvaterniomuuttujaisia funktioitaMuokkaa

Seuraavat tavalliset funktiot voidaan määritellä kvaterniomuuttujille   ja  .

Eksponentiaali- ja logaritmifunktiotMuokkaa

Eksponentti- ja logaritmifunktiot voidaan määritellä kvaternioille, sillä kvaterniot muodostavat jakoalgebran.

  • Luonnollinen eksponentti:  
  • Luonnollinen logaritmi:  
  • Potenssi:  

Trigonometriset funktiotMuokkaa

  • Sini:  
  • Kosini:  
  • Tangentti:  

Hyperboliset funktiotMuokkaa

  • Hyperbolinen sini:  
  • Hyperbolinen kosini:  
  • Hyperbolinen tangentti:  

Hyperboliset käänteisfunktiotMuokkaa

  • Hyperbolinen arkussini:  
  • Hyperbolinen arkuskosini:  
  • Hyperbolinen arkustangentti:  

Trigonometriset käänteisfunktiotMuokkaa

Nämä luetellaan viimeisinä koska määrittelyssä tarvitaan kvaternioarvoisia hyperbolisia käänteisfunktioita.

  • Arkussini:  
  • Arkuskosini:  
  • Arkustangentti:  


LähteetMuokkaa

  1. Onko Angry Birdsin suosion selitys i² = j² = k² = ijk = -1? Taloussanomat. 2.1.2012. Viitattu 2.1.2012.