Avaa päävalikko
Funktio, joka ei ole jatkuva (epäjatkuva funktio) yhdessä kohdassa. Kohtaa, jossa jatkuvuutta ei ole, kutsutaan epäjatkuvuuskohdaksi.

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.

Yhden reaalimuuttujan tapausMuokkaa

Nk. εδ-määritelmäMuokkaa

Intuitiivisesti funktion   jatkuvuus tietyssä pisteessä   tarkoittaa sitä, että   on lähellä arvoa   aina, kun piste   on lähellä pistettä  . Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden  -määritelmä (kreikk. ''epsilon'' ja ''delta''), joka on seuraava:

Olkoon   väli,   ja  . Funktio   on jatkuva pisteessä  , jos kaikilla   on olemassa   siten, että

 ,

kun   ja  .[1]

Luku   riippuu tapauskohtaisesti joko  :sta,  :stä,  :sta tai kaikista näistä. Luku   ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä kaikilla   (siis erityisesti hyvin pienillä  :n arvoilla). Käytännössä  -määritelmä tarkoittaa sitä, että  :n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion   graafi jää aina suorien   ja   väliin pisteen   lähellä.[1]

Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avullaMuokkaa

Funktio   on jatkuva pisteessä  , jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä  , on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:

 .

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.

Jatkuvien funktioiden ominaisuuksiaMuokkaa

Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenslaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos   on väli,   sekä   ja   jatkuvia funktioita pisteessä  , niin:[2]

  1. summafunktio   on jatkuva pisteessä  
  2. tulofunktio   on jatkuva pisteessä  
  3. tulofunktio  , missä   on vakio, on jatkuva pisteessä  
  4. rationaalifunktio   on jatkuva pisteessä  , jos  
  5. itseisarvofunktio   on jatkuva pisteessä  

EsimerkkejäMuokkaa

  • Vakiofunktio  ,   on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
  • Polynomifunktio  ,  on jatkuva koko määrittelyjoukossaan riippumatta polynomin asteesta  .[3]
  • Funktio   on määritelty, kun  . Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
  • Funktio   on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa  .

Jatkuvuus metrisissä avaruuksissaMuokkaa

Olkoot   ja   metrisiä avaruuksia. Funktio   on jatkuva pisteessä   (metriikoiden   ja   suhteen), jos jokaista positiivilukua   kohti on olemassa positiiviluku   siten, että   aina kun  . Muodollisesti ilmaistuna funktio   on jatkuva pisteessä  , jos

 

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon   pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja   ja   topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden   ja   indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.

Jatkuvuus topologisissa avaruuksissaMuokkaa

Funktio  , missä   ja   ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä  , jos ja vain jos jokaista pisteen   ympäristöä   kohti on olemassa pisteen   ympäristö   siten, että  . Funktio   on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden   pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio   on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen   avoimen joukon   alkukuva   on avoin avaruudessa  . [4]

LähteetMuokkaa

  • Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

ViitteetMuokkaa

  1. a b Kilpeläinen, Tero: Analyysi 1 (s. 40−41) 2000 / 2002. Jyväskylän yliopisto. Viitattu 21.3.2017.
  2. Kilpeläinen, s. 44
  3. Kilpeläinen, s. 47
  4. Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: Topologia, s. 94–100. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7.

KirjallisuuttaMuokkaa