Epäjatkuvuuskohta

piste, jossa funktio ei ole jatkuva

Epäjatkuvuuskohta liittyy käsitteenä matematiikassa funktion jatkuvuuteen. Epäjatkuvuuskohta on funktion määrittelyjoukon arvo (eli joukko-opissa alkio), jonka ympäristössä funktion arvot eivät toteuta jatkuvuusehtoa. Jatkuvuusehto riippuu matematiikan haarasta ja käsiteltävästä tilanteesta.

Yhden reaalimuuttujan tapausMuokkaa

Yhden muuttujan reaalifunktiolla on jatkuvuusehto

 

jossa kohdassa   toispuoleiset raja-arvot vasemmalta puolelta ja oikealta puolelta tulee olla samat ja tämän lisäksi funktion arvon   tulee olla raja-arvojen suuruinen. Jos toinen tai molemmat raja-arvot eivät ole olemassa tai ne ovat eri suuruiset, funktio on epäjatkuva kohdassa  . Jos funktion arvo   on eri suuri kuin raja-arvot, on funktio epäjatkuva.

Epäjatkuvuuskohtien luokitteluaMuokkaa

On huomattava, että jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat funktion ominaisuuksia, joten funktio voi olla epäjatkuva vain pisteissä, joissa se on määritelty![1] Epäjatkuvuuskohdat voidaan luokitella seuraaviin kategorioihin tai niiden yhdistelmiin.

HyppäysepäjatkuvuusMuokkaa

 
Hyppäysepäjatkuvuus pisteessä  .

Piste, jossa funktion kuvaaja ''hyppää'' äkillisesti arvosta toiseen. Esimerkiksi funktio  ,

 

on epäjatkuva pisteessä  .[1]

''Karkailu äärettömyyteen''Muokkaa

 
Funktio ''karkaa äärettömyyteen'' pistettä   lähestyttäessä.

Esimerkiksi funktio  ,

 

on epäjatkuva pisteessä  . Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktion arvot pienenevät rajatta ja vastaavasti oikealta lähestyttäessä ne kasvavat rajatta.[1]

HeilahteluepäjatkuvuusMuokkaa

 
Funktio   heilahtelee rajusti pisteen   ympärillä.

Heilahteluepäjatkuvuuskohta on piste, jossa funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi, sillä funktio saa millä tahansa välillä pisteen ympäristössä useita eri arvoja. Esimerkiksi funktio  ,

 

on epäjatkuva pisteessä   riippumatta siitä, miten luku   valitaan. Funktio saa kaikki arvot välillä  , kun  , riippumatta siitä, kuinka pienellä välillä origon ympärillä funktiota tarkasteltaisiin. Näin ollen, oli   mitä tahansa, ei   ole jatkuva origossa.[1]

Poistuva epäjatkuvuusMuokkaa

 
Poistuva epäjatkuvuus pisteessä  .

Funktio saadaan ''korjattua'' jatkuvaksi epäjatkuvuuskohdassa, kun sen arvoa kyseisessä pisteessä muutetaan. Esimerkiksi funktio  ,

 

on epäjatkuva pisteessä  , mutta ''korjaamalla''   siitä tulisi jatkuva.[1]

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e Kilpeläinen, Tero: Analyysi 1 (s. 38 − 39) 2000 / 2002. Jyväskylän yliopisto. Viitattu 21.3.2017.
  • Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.