Avaa päävalikko

Cantorin joukko on matematiikassa saksalaisen matemaatikon Georg Cantorin vuonna 1883[1] esittämä merkittävä välillä [0,1] olevien lukujen konstruktio.

Määritelmä[2]Muokkaa

Cantorin joukko määritellään siten, että yksikköväli [0,1] jaetaan kolmeen yhtäsuureen osaan ja väleistä keskimmäinen poistetaan. Sitten jäljelle jääneet välit [0, 1/3] ja [2/3, 1] jaetaan kolmeen yhtäsuuren osaan ja näistä keskimmäiset poistetaan. Tätä toistetaan äärettömän monta kertaa. Cantorin joukko koostuu jäljelle jääneistä välin [0, 1] pisteistä.[3]

Prosessin kuusi ensimmäistä vaihetta on kuvattu alla:

 

Joukon mittaMuokkaa

Koska Cantorin joukko on määritelty väleinä, jotka poistetaan konstruktiossa, Cantorin joukon Lebesguen mitta voidaan laskea poistettujen välien pituuksien avulla. Tämä saadaan geometrisena sarjana

 

joten Cantorin joukon Lebesguen mitta on 1 – 1 = 0. Toisaalta voidaan huomata, että jokaisella askeleella Cantorin pituus pienenee 2/3 osaan edellisestä pituudesta, joten Cantorin joukon pituus on ääretön tulo 2/3 × 2/3 × 2/3 × ..., joka on siis 0. Cantorin joukon Hausdorffin dimensio on   ja tällä dimensiolla vastaava Hausdorffin mitta Cantorin joukosta on 1.

Mitä Cantorin joukkoon kuuluu?Muokkaa

Aluksi saattaa näyttää hämmentävältä, että poistoissa jää jäljelle ylipäänsä mitään, sillä poistettujen välien yhteispituus on 1 eli sama kuin alkuperäisen välin. Tarkemmin katsottuna jäljelle jää kuitenkin pisteitä, sillä keskimmäinen poistettu kolmannes on avoin joukko eli sen päätepisteitä ei poisteta. Siten poistamalla jana (1/3, 2/3) alkuperäisestä välistä [0, 1] jää jäljelle pisteet 1/3 ja 2/3. Seuraavatkaan poistot eivät poista näitä pisteitä, sillä poistettu väli kuuluu aina toisen välin sisälle. Samaan tapaan voidaan osoittaa, että esimerkiksi murtoluvut 1/9, 2/9, 7/9 ja 8/9 kuuluvat Cantorin joukkoon, niin myös 1/27, 2/27, 25/27, 26/27, 1/81, 2/81, 79/81, 80/81 ja yleensäkin muotoa  ,  ,   ja   olevat murtoluvut. Lisäksi siihen kuuluu muitakin murtolukuja, joiden nimittäjä on kolmen potenssi, joskaan eivät kaikki tällaiset murtoluvut. Siten Cantorin joukko ei ole tyhjä.

Cantorin joukkoon kuuluu kuitenkin myös suuri joukko irrationaalilukuja. Voidaan myös osoittaa, että se on ylinumeroituva, eli se on aidosti mahtavampi joukko kuin luonnollisten lukujen joukko  . Todistus perustuu siihen, että Cantorin joukon pisteet voidaan esittää 3-kannassa desimaaliesityksinä, joissa ei ole mukana ykkösiä (vain 0 ja 2). Tämän jälkeen ylinumeroituvuus voidaan todistaa Cantorin diagonaaliesityksen tapaan.

Dynaaminen iterointiin perustuva tulkintaMuokkaa

Cantorin joukolle voidaan antaa myös dynaaminen iterointiin perustuva määritelmä, joka on vastaavanlainen kuin esimerkiksi se tapa, jolla Mandelbrotin joukko yleensä määritellään.

Olkoon   kuvaus, joka on määritelty niin, että

 

Kyseessä on siis "sahalaita-kuvaaja", jolla   tarkalleen silloin kun  , se saa maksimiarvonsa   pisteessä   ja arvon   pisteissä   ja  , ja lisäksi   lähestyy raja-arvoa   ("miinus ääretön"), kun   lähestyy raja-arvoa   tai  .

Määritellään reaaliluvun   positiivinen rata kuvauksen   suhteen nyt niiden reaalilukujen joukoksi, jonka alkiot on saatu iteroimalla arvoa   kuvauksella   mielivaltaisen monta kertaa, eli kyseessä ovat luvut  , missä   on lyhennysmerkintä sille, että arvoa   on iteroitu   kertaa, jolloin esimerkiksi   tarkoittaa arvoa  . (Lisäksi tulkitaan, että   ja  .) Esimerkiksi lähtemällä arvosta   iteroinnin ensimmäiset kuusi lukua ovat     ja  .

Voidaan osoittaa, että Mandelbrotin joukon määritelmää vastaavalla tavalla Cantorin joukko koostuu tarkalleen niistä reaaliluvuista  , joiden kuvauksen   suhteen otettu positiivinen rata on rajoitettu, eli on olemassa sellainen luku   (Luku   saa riippua iteroinnin aloittavasta reaaliluvusta  .), että reaalilukua   iteroimalla saatava positiivinen rata on kokonaan rajoitetun välin   sisällä. Lisäksi on helppo nähdä, että tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että reaaliluvun   positiivinen rata sisältyy kokonaisuudessaan yksikköväliin  . Tämä seuraa siitä, että jos jossain iteroinnin kohdassa   on voimassa  , selvästi  , joka lähestyy raja-arvoa  , kun   kasvaa eli iterointi etenee pidemmälle. Yksikkövälin   oikeaa puolta koskeva väite seuraa tästä nyt helposti, sillä jos iteroinnin jossain kohdassa   on voimassa  , selvästi  , jolloin jatko voidaan päätellä aiemman  -tilanteen perusteella. Erityisesti yllä olevan esimerkin piste   ei kuulu Cantorin joukkoon, sillä esimerkissä nähtiin, että  , eli pisteen   iterointi kuvauksen   suhteen menee yksikkövälin   ulkopuolelle.

LähteetMuokkaa

  1. Georg Cantor, On the Power of Perfect Sets of Points (De la puissance des ensembles parfait de points), Acta Mathematica 4 (1884) 381--392. Englanninkielinen käännös kirjassa Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  2. Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 320. , 2003.
  3. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 52. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Aiheesta muuallaMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.