Avaa päävalikko
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista termiä. Väli voi myös tarkoittaa välilyöntiä.

Matematiikassa väli on (osittain tai täysin) järjestetyn joukon osajoukko, jonka alkiot sijaitsevat jonkin kahden kiinteän rajan välillä.

Sisällysluettelo

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   järjestetty joukko ja  , missä  . Tällöin pisteiden a ja b välinen

  • suljettu väli on joukko

 

  • avoin väli on joukko

 

  • oikealta puoliavoin väli on joukko

 

  • vasemmalta puoliavoin väli on joukko

 

missä merkinnällä   tarkoitetaan järjestyksen   antamaa relaatiota: alkioilla   pätee   jos ja vain jos   ja   .

Yleisesti joukko   on väli jos se voidaan kirjoittaa jollain edellä olevalla tavalla.

Päätepisteiden kuulumattomuus voidaan ilmaista myös väärinpäin kirjoitetuilla hakasulkeilla, esimerkiksi avoin väli on tällöin   [1]

SovelluksiaMuokkaa

Tunnettu esimerkki järjestetystä joukosta, jossa välien käyttö on osoittautunut erittäin hyödylliseksi on (laajennettu) reaaliakseli   varustettuna tavallisella lukujen ja äärettömyyksien suuruttaa mittaavalla järjestyksellä. Tässä avaruudessa nimittäin voidaan välien helposti konstruoida topologioita avaruuteen   ja niille voidaan määritellä päätepisteiden etäisyyden avulla helposti geometrinen mitta. Täällä siis välit koostuvat niistä reaaliluvuista, jotka ovat jonkin kahden kiinteän luvun (tai +/-äärettömän) välissä.

Esimerkiksi väli avoin väli   koostuu janasta nollasta yhteen, jossa päätepisteitä ei oteta mukaan ja vastaavasti   samasta janasta, johon lisätään päätepisteet.

Joukossa   avoimet välit muodostavat kannan euklidiselle topologialle ja puoliavoimet välit muodostavat kannan niin sanotulle puoliavoimelle topologialle.

TulovälitMuokkaa

Vaikka välin käsite on vahvasti sidoksissa joukon järjestykseen, niin välien käsite voidaan myös yleistää järjestettyjen joukkojen tuloavaruuksille. Tuloavaruuksiin ei voi yleisesti periyttää järjestystä tulon jäsenistä, kuten jo esimerkiksi tason   käy.

Olkoon   osittain tai täysin järjestettyjä joukkoja, missä   ja J jokin epätyhjä joukko. Tällöin joukko   on tuloväli, jos on olemassa välit   siten, että

 

Esimerkiksi avaruudessa   tulovälit (kutsutaan tässä tapauksessa myös n-välit) ovat n:n reaaliakselin välin tuloja eli eräänlaisia useampiulotteisia laatikoita (avaruudessa   tulovälit ovat suorakaiteita ja avaruudessa   tulovälit ovat särmiöitä).

Avaruudessa   avoimien välien tuloina saadut tulovälit muodostavat avaruuden normitopologialle kannan.

LähteetMuokkaa

  1. Reaaliluvut – Lukusuora Tampereen teknillisen yliopiston sivusto.