Avaa päävalikko

Nollalla jakaminen tarkoittaa jakolaskua, jossa jakaja on nolla. Muodollisesti tällaista jakolaskua merkitään . Tavallisessa aritmetiikassa ei ole määritelty.

Algebrallinen tulkintaMuokkaa

Jakolasku määritellään kertolaskun avulla: osamäärä   tarkoittaa sitä lukua  , jolla pätee  . Oletetaan nyt, että  . Jakolaskun määritelmän mukaan   on se luku  , jolla  . Kuitenkin   riippumatta luvusta  . Siis ei ole olemassa lukua  , eli nollalla ei voi jakaa nollasta eroavaa lukua  .

Myöskään nollaa ei voi jakaa nollalla: mikä tahansa luku   toteuttaa yhtälön  , joten   voisi olla mikä reaaliluku hyvänsä.

Geometrisen summan avullaMuokkaa

Yksi tapa lähestyä nollalla jakamisen ongelmaa on geometrisen summan   avulla. Tiedetään että summan suppenemissäde on  .

Kun sijoitetaan summaan arvo  , saadaan  . Koska summa   kasvaa rajatta, suureella   ei ole mielekästä arvoa.

Raja-arvot ja nollalla jakaminenMuokkaa

Nollalla jakamista voi tarkastella myös raja-arvojen avulla. Kun   lähestyy nollaa oikealta puolelta, kasvaa osamäärä   rajoittamattomasti. Kun   lähestyy nollaa vasemmalta puolelta, osamäärä   vähenee rajatta. Jos siis haluttaisiin määritellä nollalla jakaminen lausekkeen   raja-arvona, tulisi osamäärän   olla yhtä aikaa sekä äärettömän suuri että äärettömän pieni. Tämä on mahdotonta, joten nollalla jakamista ei voi määritellä tälläkään tavalla.

Nollalla jakamisen seurauksetMuokkaa

Jos sallitaan nollalla jakaminen ja oletetaan, että  , voidaan todistaa, että esimerkiksi 2 = 1.

Nollan ominaisuuksista johtuen tiedetään että   ja  . Näin siis on  . Jakamalla yhtälö puolittain nollalla saadaan  . Siispä  .

Jakamalla nollalla on päädytty selvästi ristiriitaiseen johtopäätökseen. Siis nollalla ei voi jakaa.

Laajennettu reaaliakseliMuokkaa

Reaaliakseli   voidaan laajentaa sisältämään alkiot   ja  , jotka sopivasti tulkittuna antavat järkevän määritelmän nollalla jakamiselle.[1] Joissain matematiikan aloissa, kuten mittateoriassa, tämä on luontevaa sillä usein eteen tulee funktioita, joille esimerkiksi ääretönarvoisuus olisi selkempää määritellä kuin jättää raja-arvojen varaan.

Määrittelemme, että laajennettu reaaliakseli on joukko  , missä   ja   ovat alkioita, joille pätee seuraavat ominaisuudet:

  •   kaikilla  
  •   ja  
  •   ja  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  
  •   kaikilla  .

Tapauskohtaisesti myös määritellään

  •   ja  .

Merkinnät

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •   ja
  •  

eivät ole määritelty joukossa  .

Nollalla jakaminen ohjelmoinnissaMuokkaa

Tietokoneohjelmoinnissa kokonaislukujen jakolasku, jossa jakaja on nolla, aiheuttaa ohjelman keskeytymisen tai siirtymisen poikkeuskäsittelijään. Liukuluvuilla laskettaessa (hallitsevan IEEE 754 -standardin mukaan) nollia on kaksi: positiivinen nolla ja negatiivinen nolla; näiden voi ajatella kuvaavan esitystarkkuuden rajaa pienempiä lukuja, joista kuitenkin tiedetään etumerkki. Nollalla jakaminen antaa tulokseksi positiivisen äärettömän tai negatiivisen äärettömän riippuen jaettavan ja nollajakajan etumerkeistä. Jos myös jaettava on nolla eli jaetaan nollaa nollalla, tulos on määrittelemätön arvo, jota kutsutaan nimellä Not-a-Number tai lyhenteellä NaN (vakiintumaton suomennos 'epäluku').

LähteetMuokkaa

  1. Itä-Suomen yliopisto: Nollalla jakaminen LUMA-linja 10 vuotta Norssilla-tapahtuma. 22.1.2010. Viitattu 27.7.2017.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.