Todennäköisyyden aksioomat

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksioomaMuokkaa

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

 

missä   on tapahtumien joukko ja   jokin tapahtuma joukossa  .

Toinen aksioomaMuokkaa

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

 .

Kolmas aksioomaMuokkaa

Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai  -additiivisuudeksi:

Jos tapahtumat   ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:
 .

SeurauksiaMuokkaa

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

MonotonisuusMuokkaa

 

Tyhjän joukon todennäköisyysMuokkaa

 

Todennäköisyys on normeerattu mittaMuokkaa

 

TodistuksetMuokkaa

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyysMuokkaa

Määritellään   ja  , missä   kaikilla  . On helposti nähtävissä, että joukot   ovat pistevieraita ja  . Siten kolmannesta aksioomasta saamme

 

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on  , joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus  . Tyhjän joukon todennäköisyys   voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos   niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

 

Jos  , saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä  , joka on äärellinen. Siis   ja  .

Todennäköisyys on normeerattu mittaMuokkaa

Ensimmäisen aksiooman nojalla

  ja  , mikä sisältää väitteen.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
  • Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).