Tapahtuma (todennäköisyys)

Tapahtuma (engl. event) eli joskus vain tapaus on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa sellaista satunnaisilmiön alkeistapauksien joukkoa, jolle voidaan määrittää todennäköisyys. Satunnaisilmiön kaikki alkeistapaukset muodostavat joukon, jota kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi. Tapahtuma on siten aina perusjoukon osajoukko.

Tapahtuma A ja sen vastatapahtuma CA.

Esimerkiksi kortinnostossa 52 pelikortin korttipakassa jokainen nostettu kortti on alkeistapaus. Alkeistapauksella tarkoitetaan satunnaisilmiön (kortin nosto pakasta) tulosta, joka on yksikäsitteisenä olemassa (jokainen kortti on eriarvoinen). Korttipakka on siis arvontaväline, jolla arvotaan tuloksia eli alkeistapauksia. Kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon. Alkeistapaukset voivat muodostaa erilaisia perusjoukkoa pienempiä joukkoja, kuten hertta-kortit tai ässät. Näitä joukkoja, jotka ovat perusjoukon osajoukkoja, kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tapahtumiksi.

Jos perusjoukko on ylinumeroituva, yleensä sen kaikille osajoukoille ei voida määrittää toden­näköisyyttä, koska ne eivät kaikki ole mitallisia. Tällaisissa tapauksissa tapahtumiksi sanotaan vain sellaisia perus­joukon osa­joukkoja, joille toden­näköisyys voidaan määrittää. Tällaiset joukot muodostavat perus­joukon sigma-algebran.

Esimerkkejä tapahtumista

Diskreetit tapaukset

Noppapeleissä arpakuution kaikki alkeistapaukset eli silmäluvut ovat perusjoukoksi kirjoitettuina $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.$ Pelin aikana voi esimerkiksi sattua tilanne, jossa pelin voittamiseksi tarvitaan vähintään nelonen. Silloin voittoon oikeuttavat alkeistapaukset muodostavat tapahtuman $A=\{4,5,6\}.$ Tapahtuma $A$ on perusjoukon osajoukko, eli joukko-opin merkinnöillä $A\subset \Omega .$

Jatkuvat tapaukset

Tikanheitossa tikan osumakohta voidaan ilmaista xy-koordinaatistossa koordinaattiparilla (x,y). Jos koordinaatiston origo sijaitsee tikkataulun napakympissä, voidaan osumakohdat tulkita alkeistapauksiksi. Kaikkien alkeistapauksien perusjoukko $\Omega$ sisältää koko xy-koordinaattitason kaikki pisteet eli $\Omega =\mathbb {R} ^{2}.$ Tikkatalun osumat, jotka sijaitsevat viiden senttimetrin säteellä napakympistä muodostavat tapahtuman $A$, joka voidaan määritellä $A=\{(x,y)|{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<5\}.$

Tapahtumien joukot

Todennäköisyyslaskennan ajatukset on matematiikassa puettu joukko-opin käsitteisiin. Tapahtumat ja perusjoukko muodostuvat alkeistapauksista. Joukko-opin triviaali merkintä tälle olisi $A:=\{\omega \in A\}.$ Koska perusjoukko kattaa kaikki alkeistapaukset ja tapahtumissa on usein vähemmän alkeistapauksia, ovat tapahtumat perusjoukon osajoukkoja. Tämä merkitään yksinkertaisesti $A\subset \Omega .$

Jos tapahtuma on määritelty siten, ettei sitä toteuta mikään alkeistapaus, on tapahtuma tyhjä joukko eli $A:=\emptyset .$ Esimerkki tyhjästä joukosta on tapahtuma "kuusisivuista noppaa heitettäessä saadaan silmäluku seitsemän".Toinen erikoinen tilanne syntyy siitä, että tapahtuman toteuttaa yksittäinen alkeistapaus. Tällöin tapahtuma on kyseinen alkeistapaus yksinään. Mikäli kaikki alkeistapaukset toteuttavat tapahtuman, on tapahtuma satunnaisilmiön perusjoukko eli $A:=\Omega .$

Vastatapahtuma

Tapahtuman $A$ osajoukko jakaa perusjoukon alkeistapaukset niihin, jotka kuuluvat tapahtumaan, ja niihin, jotka eivät kuulu tapahtumaan. Todennäköisyyslaskennassa puhutaankin vastatapahtumasta. Nämä joukot ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon $A$ komplementtijoukko $A^{c}$ määritellään $A^{c}:=\{\omega \in \Omega ;\omega \notin A\}.$ Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: $\Omega ^{c}=\emptyset$ ja vastaavasti $\emptyset ^{c}=\Omega .$ Edellisessä esimerkissä diskreettisessä tilanteessa tapahtuma "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli $\{1,2,3\}.$ Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: $\{1,2,3\}\cup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}.$

Kaikki tapahtumat: potenssijoukko

Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi olla suuri. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni: $\Omega =\{kruuna,klaava\}=\{kr,kl\}.$ Selvästikin tyhjä joukko, kruuna ja klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin: $\{\emptyset ,\{kr\},\{kl\},\{kr,kl\}\}.$Joukossa on alkioina $2^{2}$ osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi ${\mathcal {P}}(\Omega ).$ Nopanheitossa, missä $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, on potenssijoukko ${\mathcal {P}}(\Omega )=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},...,\{1,2,3\},...,\{1,2,3,4,5,6\}\}.$ Niistä muodostuu yhteensä $2^{6}$ osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia $2^{52}$ kappaletta.

Joukko-opin merkinnöin $A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\Leftrightarrow A\subset \Omega$ eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.

Todennäköisyys

Tapahtumaan liitettävä todennäköisyys

Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus $\omega$, joka kuuluu tapahtumaan eli $\omega \in A$. On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan $A$ kuuluu erilaisia alkeistapauksia $\omega$, sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys $P(A)$. Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, jossa mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa $P(\emptyset )=0$ ja $P(\Omega )=1.$ Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa $0\leq P(A)\leq 1.$

Symmetrian periaate

Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan $1/n$. Tapahtuman $A$ todennäköisyys $P(A)$ saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää $|A|$ perusjoukon kokoon $|\Omega |$:

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.$

Katso myös

• Satunnaisilmiö
• Alkeistapaus
• Satunnaismuuttuja
• Perusjoukko
• Todennäköisyys
• Todennäköisyysfunktio
• Todennäköisyysjakauma