Avaa päävalikko

Tapahtuma (engl. event) eli joskus vain tapaus [1] on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa sellaista satunnaisilmiön alkeistapauksien joukkoa, jolle voidaan määrittää todennäköisyys. Satunnaisilmiön kaikki alkeistapaukset muodostavat joukon, jota kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi. Tapahtuma on siten aina perusjoukon osajoukko.[2][3][4]

Esimerkiksi kortinnostossa 52 pelikortin korttipakassa jokainen nostettu kortti on alkeistapaus. Alkeistapauksella tarkoitetaan satunnaisilmiön (kortin nosto pakasta) tulosta, joka on yksikäsitteisenä olemassa (jokainen kortti on eriarvoinen). Korttipakka on siis arvontaväline, jolla arvotaan tuloksia (alkeistapauksia). Kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon. Jotkut alkeistapaukset (kortit) muodostavat joukon, joka voi sisältää vain hertta-kortit. Toinen joukko muodostuu vain kuvakorteista. Näitä joukkoja, jotka ovat perusjoukon osajoukkoja, kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tapahtumiksi.[2][3][5]

Jos perusjoukko on ylinumeroituva, yleensä sen kaikille osajoukoille ei voida määrittää toden­näköisyyttä, koska ne eivät kaikki ole mitallisia. Tällaisissa tapauksissa tapahtumiksi sanotaan vain sellaisia perus­joukon osa­joukkoja, joille toden­näköisyys voidaan määrittää. Tällaiset joukot muodostavat perus­joukon sigma-algebran.

Esimerkkejä tapahtumistaMuokkaa

Diskreetit tapauksetMuokkaa

Noppapeleissä arpakuution kaikki alkeistapaukset ovat perusjoukoksi kirjoitettuina (silmäluvut numeroina)   Pelin tiimellyksessä voi tulla tilanne, jossa pelin voittamiseksi tarvitaan vähintään nelonen. Silloin voittoon oikeuttavat alkeistapaukset muodostavat tapahtuman   Tapahtuma   on perusjoukon osajoukko eli joukko-opin merkinnöillä   [6][7]

Jatkuvat tapauksetMuokkaa

Tikanheitossa tikan osumakohta voidaan ilmaista xy-koordinaatistossa koordinaattiparilla (x,y). Jos koordinaatiston origo sijaitsee tikkataulun napakympissä, voidaan osumakohdat tulkita alkeistapauksiksi. Kaikkien alkeistapauksien perusjoukko   sisältää koko xy-koordinaattitason kaikki pisteet eli   Tikkatalun osumat, jotka sijaitsevat viiden senttimetrin päässä napakympistä muodostavat tapahtuman  , joka voidaan määritellä   [6]

Tapahtumien joukotMuokkaa

Todennäköisyyslaskennan ajatukset on matematiikassa puettu joukko-opin käsitteisiin. Tapahtumat ja perusjoukko muodostuvat alkeistapauksista. Joukko-opin triviaali merkintä tälle olisi   Koska perusjoukossa ovat kaikki alkeistapaukset ja tapahtumissa on usein vähemmän alkeistapauksia, ovat tapahtumat perusjoukon osajoukkoja. Tämä merkitään yksinkertaisesti   [4][8][9]

Jos tapahtuma on määritelty siten, ettei sitä toteuta mikään alkeistapaus, on tapahtuma tyhjä joukko eli   Toinen erikoinen tilanne syntyy siitä, että tapahtuman toteuttaa yksittäinen alkeistapaus. Tällöin tapahtuma on kyseinen alkeistapaus yksinään. Mikäli kaikki alkeistapaukset toteuttavat tapahtuman, on tapahtuma satunnaisilmiön perusjoukko eli  [9]

VastatapahtumaMuokkaa

Koska tapahtuman   osajoukko jakaa perusjoukon alkeistapaukset niihin, jotka kuuluvat tapahtumaan, ja niihin, jotka eivät kuulu tapahtumaan. Todennäköisyyslaskennassa puhutaankin vastatapahtumasta. Nämä joukot ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon  komplementtijoukko   määritellään   Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin:   ja vastaavasti   Edellisessä esimerkissä diskreettisessä tilanteessa tapahtuma "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli   Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon:   [1][6][9]

Kaikki tapahtumat: potenssijoukkoMuokkaa

Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi kohota suureksi. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni:   Selvästikin tyhjä joukko sekä kruuna että klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin:  Joukossa on alkioina   osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi   Nopanheitossa, missä  , on potenssijoukko   Niistä muodostuu yhteensä   osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia   kappaletta.[9]

Joukko-opin merkinnöin   eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.[9]

TodennäköisyysMuokkaa

Tapahtumaan liitettävä todennäköisyysMuokkaa

Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus  , joka kuuluu tapahtumaan eli  . On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan   kuuluu erilaisia alkeistapauksia  , sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys  . Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, missä mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa   ja   Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa   [1][3][7][10]

Symmetrian periaateMuokkaa

Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan 1/n. Tapahtuman   todennäköisyys   saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää   perusjoukon kokoon  :

  [1]

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. a b c d Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  2. a b Jyväskylän yliopisto: VI.2. Äärellinen todennäköisyyskenttä, 2008
  3. a b c Saarnisaari, Harri: Todennäköisyys (luentomateriaalia), 2003
  4. a b Weisstein, Eric W.: Event (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Etälukio: Todennäköisyyden käsite
  6. a b c Kivelä, Simo K.: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  7. a b Koskenoja, Mika: Sattuman matematiikkaa I - klassinen todennäköisyys, matematiikkalehti Solmu, 2002
  8. Weisstein, Eric W.: Outcome (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. a b c d e Sottinen, Tommi: Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov) (luentomoniste), s. 4−13, Helsingin Yliopisto, 2006
  10. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 6, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.