Vastatapahtuma

Vastatapahtuma eli komplementtitapahtuma [1] (engl. complementary event) tai joskus vain vastatapaus [2] on yksi toden­näköisyys­laskennassa perus­käsitteistä. Annetun ­tapahtuman vasta­tapahtumalla tarkoitetaan tilannetta, jossa kyseinen tapahtuma ei toteudu. Jos jonkin tapahtuma todennäköisyys on A, sen vasta­tapahtuman toden­näköisyys on 1 – A.

Joukko-opillinen määritelmäMuokkaa

Jokainen kysymykseen tuleva tapahtuma, jolle toden­näköisyys voidaan määrittää, koostuu tietystä joukosta satunnaisilmiön alkeis­tapauksia, ja vastatapahtuma muodostuu satunnaisilmiön perusjoukon kaikista muista alkeistapauksista. Tapahtuman   vastatapahtumaa merkitään yleensä   [1],  ,   [2][3] tai   [4].[1][5][6][2][7][8]

Vastatapahtuma voidaan merkitä joukko-opin käsittein   Määritelmä tekee tapahtumasta ja vastatapahtumasta erilliset tapahtumat.[4]

EsimerkkejäMuokkaa

Tapahtuman alkeistapauksia voidaan kohdella joukon alkioina. Joukot, jotka jakavat perusjoukon kahteen osaan, ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon  komplementtijoukko   määritellään   Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin:   ja vastaavasti   Nopanheitossa tapahtuman "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli   Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon:   luonnollisella tavalla.[2][4][3]

KomplementtisääntöMuokkaa

Todennäköisyys, että alkeistapaus   kuuluu perusjoukkoon   on yksi. Samasta syystä voidaan sanoa, että alkeistapaus kuuluu varmuudella aina tapahtumaan tai vastatapahtumaan, sillä perusjoukko muodostuu niistä. Silloin on

  [1]

Silloin vastatapahtuman   todennäköisyys on

  (komplementtisääntö) [1][6][2]

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 6, s. 110−118. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  2. a b c d e Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  3. a b Sottinen, Tommi: Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov) (luentomoniste), s. 4−13, Helsingin Yliopisto, 2006
  4. a b c Kivelä, Simo K.: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  5. Jyväskylän yliopisto: VI.2. Äärellinen todennäköisyyskenttä, 2008
  6. a b Jyväskylän yliopisto: VI.2. Aksiomatisointi, 2008
  7. Weisstein, Eric W.: Event (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Etälukio: Komplementtitapaus