Merkkinen mitta

Merkkinen mitta on mittateoriassa hyödyllinen mitan yleistys. Se kulkee kirjallisuudessa myös nimellä täysadditiivinen joukkofunktio.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   joukko ja   sigma-algebra perusjoukolla  . Kuvaus   on merkkinen mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot

  1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli
     
  2. Jos joukot  ,  , missä   on numeroituva joukko, ovat erillisiä ja summa   on olemassa, niin
     .

Merkkinen mitta voi olla myös kuvaus  . Kuvaus   ei kuitenkaan ole mielekäs kaavan

 

vuoksi, jos olisi   ja  .

OminaisuuksiaMuokkaa

Mikäli merkkinen mitta on ei-negatiivinen kaikilla sigma-algebran alkioilla, on se selvästi mitta.

Merkkiselle mitalle   voidaan jokaisessa joukossa   määritellä niin sanotut ylä- ja alavariaatiot

  ja  

Kuvaukset   ja   ovat itse asiassa myös merkkisiä mittoja, jos rajoitumme sigma-algebran alkioihin.

Näiden avulla voidaan osoittaa, että jokainen merkkinen mitta   voidaan lausua muodossa

 .

Tästä itse asiassa seuraa niin sanottu Jordanin esityslause, jonka mukaan jokainen merkkinen mitta on jonkin kahden mitan erotusfunktio.