Oleellinen supremum ja oleellinen infimum

Mittateoriassa ja funktionaalianalyysissä, oleellinen supremum ja oleellinen infimum ovat supremumin ja infimumin käsitteiden yleistyksiä mitallisille funktioille ja joukoille. Ideana on määritellä funktion oleellinen yläräja siten, että se pätee melkein kaikkialla. Toisin sanottuna, niiden pisteiden joukko, joiden kuva on suurempi kuin oleellinen yläraja, on nollamittainen.

Intuitiivisesti, funktion oleellinen infimum on pienin arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin funktion arvot kaikkialla, kun funktion arvot nollamittaisilla joukoilla jätetään huomiotta. Otetaan esimerkiksi funktio , jonka arvo on nolla kaikkialla paitsi määrittelyjoukon pisteen nolla kohdalla, jossa määritellään . Funktion supremum on tällöin yksi. Sen oleellinen supremum on kuitenkin nolla, koska yhden pisteen mudostama joukko on nollamittainen. Oleellinen infimum määritellään samankaltaisesti.

MääritelmäMuokkaa

Kuten mittateoriassa yleensä, määritelmä perustuu tiettyjen mitallisten joukkojen alkukuviin.

Olkoon   funktio joukosta   reaalilukujen joukkoon. Reaaliluku   on funktion   yläraja, jos kaikille joukon   alkioille   pätee  , eli toisin sanottuna jos

 

on tyhjä . Määritellään funktion   ylärajojen joukko seuraavasti:

 

Tällöin funktion supremum määritellään

 

jos joukko   ei ole tyhjä, ja   jos   on tyhjä.

Vaihtoehtoisesti, supremum on sellainen reaaliluku  , jolle pätee: jos   siten että  kaikille  , niin sitten  .

Oletetaan nyt lisäksi, että   on mitta-avaruus, ja että funktio   on mitallinen. Reaaliluku   on funktion   oleellinen yläraja, jos joukko   on nollamittainen, eli jos melkein kaikille joukon   alkioille   pätee  . Määritellään funktion   oleellisten ylärajojen joukko seuraavasti:

 

Tällöin oleellinen supremum määritellään[1] (supremumin lailla)

 

jos   ja muuten  .

Vaihtoehtoisesti, oleellinen supremum on sellainen reaaliluku  , jolle pätee: jos   siten että   melkein kaikille  , niin sitten  .[2]

Oleellinen infimum määritellään täysin vastaavasti oleellisten alarajojen supremumina:

 

jos oleellisten alarajojen joukko ei ole tyhjä, ja muuten  .

Lebesgue-mitalliselle joukolleMuokkaa

Olkoon   Lebesguen mitan mitta-avaruus. Lebesgue-mitallisen joukon   oleellinen supremum (infimum) määritellään inkluusiokuvauksen   oleellisena supremumina (infimumina). Yksityiskohtaisesti, joukon   oleellinen supremum on

 

ja oleellinen infimum

 

TerminologiaaMuokkaa

Jos funktion tai joukon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti ylhäältä rajoitettu. Jos funktion tai joukon oleellinen infimum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti alhaalta rajoitettu. Jos funktion itseisarvon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti rajoitettu.lähde?

OminaisuuksiaMuokkaa

  • Jos  , niin   . Jos   on nollamittainen, niin   ja  .[3]
  •   aina kun molemmat oikeanpuoleiset termit eivät ole negatiivisia.[4]

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • PlanetMath, Essential supremum Viitattu 1.3.2021. (englanniksi)
  • Dieudonné, J. Treatise on analysis. Volume II. Enlarged and corrected printing. Academic press. New York, San Francisco, London. 1976.

ViitteetMuokkaa

  1. PlanetMath
  2. Dieudonne, s. 172
  3. Dieudonne, s. 173
  4. Dieudonne, s. 173

Aiheesta muuallaMuokkaa

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Essential supremum and essential infimum