Avaa päävalikko

Riemann–Stieltjes-integraali

Riemannin–Stieltjesin integraali on Riemannin integraalin yleistetty muoto. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.

Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa
,
missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi.
Integraali voi myös olla muotoa
.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa   , missä

a=      = b.

Merkitään

    =  , missä (i = 1,   , n).

Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan

  = sup f(x) (  ≤ x ≤  )

  = inf f(x) (  ≤ x ≤  ).

Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä

  α = α( ) - α( ).

On selvää, että   α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan

U (P, f, α) =        ,

L (P, f, α) =        .

Jos

  ,

missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään
 
tai  . Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi  :n suhteen yli välin [a,b].

Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliinMuokkaa

Merkitsemällä   nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:

 .

Yleisissä tapauksissa  :n ei tarvitse olla jatkuva.

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksiaMuokkaa

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia.
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.

Muuttujan vaihtoMuokkaa

Olkoon funktio   välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja   ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti

 ,

jos  .
Silloin funktio   välillä S ja
 .

LineaariominaisuudetMuokkaa

Jos   ja   välillä [a,b], niin

  välillä [a,b] ja

 .

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953
  • Laitinen T. Riemann-Stieltjes integraali, Pro Gradu-työ, 2006

KirjallisuuttaMuokkaa