Pii (vakio)

päättymätön matemaattinen vakio, joka edustaa ympyrän kehän suhdetta halkaisijaan

Pii eli π on matemaattinen vakio, ympyrän kehän suhde halkaisijaan euklidisessa geometriassa. Pii esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla.

Kun ympyrän halkaisija on 1, ympyrän kehä on pii.

Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r-sivuisen neliön pinta-alaan: . Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi positiiviseksi luvuksi , jolle .

Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.

Joissakin maissa pii tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio[1] ja (erityisesti saksankielisellä alueella) Ludolphin luku[2] matemaatikkojen Arkhimedes ja Ludolph van Ceulen mukaan.

Piin vanhoja likiarvoja

muokkaa
 
Pii

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa   on 3: ”Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.[3]

Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä  :n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa  :n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2 000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että   on joko 3 tai   (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo   (kaksi des. oikein) on tiedetty pitkään.

Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen   ja   välillä.[4] Ptolemaios käytti  :n arvoa   (kolme des. oikein). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla  :lle arvon   (kuusi des. oikein), jota parempi murtolukuarvio on vasta   (yhdeksän des. oikein).

Luku   todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

Piin laskeminen sarjakehitelmien avulla

muokkaa

Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:

 

Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:

 

Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on

 

saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:

 

Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.

Alkulukujen 7, 11, 13, … avulla on johdettu tulokaava[5]

 

Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, … lähtien pätee myös tulokaava[5]

 

Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos[5]

 ,

josta saadaan

 

Muita äärettömiä sarjoja:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .

Muutama BBP-kaava:

 

Piin laskeminen tulokehitelmien avulla

muokkaa

Wallisin tulo:

 

Viètan kaava:

 .

Muita äärettömiä tuloja:

 

 

 

 

 

 

 

 

Piin approksimaatioita

muokkaa

Piin avulla laskiessa voidaan lausekkeissa korvata se erityisellä lausekkeella.

  • kaksi oikeaa desimaalia:
 
 
  • kolme oikeaa desimaalia:
 
  • kolme oikeaa desimaalia:
 [6]
  • Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:
 
  • neljä oikeaa desimaalia:
 
  • kuusi oikeaa desimaalia:
 
  • Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:
 
  • yhdeksän oikeaa desimaalia:
 
  • yhdeksän oikeaa desimaalia:
 
  • 17 oikeaa desimaalia:
 
  • 29 oikeaa desimaalia:
 
  • 51 oikeaa desimaalia:
 
  • 160 oikeaa desimaalia:
 
missä
 
ja
 .

Piin desimaalien laskeminen

muokkaa

Englantilainen amatöörimatemaatikko William Shanks (1812 – 1882) laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.[7]

Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.

1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja elokuussa 2021 siitä tiedettiin ensimmäiset 62,8 biljoonaa desimaalia.[8][9] Vuoden 2024 keväällä piille laskettiin 105 biljoonaa eli 1 05 000 000 000 000 desimaalia.[10]

1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita, mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.

Muita esimerkkejä

muokkaa
 
Kolikkoa kuvaava ympyrä neliöruudukolla.

Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.[11]

Avoimia kysymyksiä

muokkaa

Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen:

  • Onko desimaaleissa toistuvia kuvioita, vai onko ketju hahmoton?[7]
  • Toistuvatko jotkin numerot tai luvut piissä useammin kuin toiset?[7]

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  • Pappas, Theoni: Lisää matematiikan iloja. (Alkuteos: More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You) Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 1991. ISBN 952-5202-46-1

Viitteet

muokkaa
  1. Archimedes' Constant, Wolfram Research, viitattu 10.2.2021 (englanniksi)
  2. Ludolph's Constant, Wolfram Research, viitattu 10.2.2021 (englanniksi)
  3. 1. Kun. 7:23
  4. Iso tietosanakirja, 9. osa (Mustonen-Pielisjärvi), art. Pi, Otava 1935
  5. a b c Jukka Männistö: Matematiikan helmiä lukiolaisille. (Luvun pii määrittämiskeinoja, s. 17–23) Tampereen yliopisto. Tampereen normaalikoulun julkaisuja. Sarja A1: Tutkielmia ja monisteita 1, 1993. ISBN 951-44-3422-6
  6. A nested radical approximation for π
  7. a b c Theoni Pappas s. 45
  8. 3,14.. Piille laskettiin nyt reipas määrä desimaaleja: 62 biljoonaa numeroa AfterDawn. Viitattu 18.8.2021.
  9. Pi-Challenge - Weltrekordversuch der FH Graubünden - FH Graubünden www.fhgr.ch. Arkistoitu 18.8.2021. Viitattu 18.8.2021.
  10. Tojkander, Maria: Kuinka monta piin desimaalia on pystytty laskemaan? tekniikanmaailma.fi. Viitattu 23.4.2024.
  11. Yrjö Juve, Todennäköisyyslaskennan alkeita, 5. painos, Kirjayhtymä, 1971, s. 24–25.

Kirjallisuutta

muokkaa
  • Beckmann, Petr: π: Erään luvun tarina. ((A history of π, 1971.) Suomentanut Hannele Salminen) Helsinki: Terra Cognita, 2000. ISBN 952-5202-28-3

Aiheesta muualla

muokkaa
  • [1] Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
  • PiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti
  • Pi-memory (Arkistoitu – Internet Archive)
  • [2] Pii-laskin, joka toimii selaimessa