Luettelo piin laskukaavoista

Laskukaavoja piin määrittämiseksi algebrallisesti.

Pinta-alan laskeminen

Vietan kaava on vuodelta 1593 ja se perustuu ympyrän pinta-alan laskemiseen sen sisä- ja ulkopuolelle piirrettyjen säännöllisten monikulmioiden avulla:

${\frac {2}{\pi }}=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\right)...$

Sarjoja

Leibnizin sarja vuodelta 1674:

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...$

Eulerin sarja vuodelta 1748:

${\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+...$

Samankaltainen sarja: ${\frac {\pi ^{2}}{8}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}$

Piillä on myös monia ketjumurtolukuesityksiä, kuten tämä:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}$

Eräs mielenkiintoinen sarja on Wallisin tulo:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$,

joka voidaan kirjoittaa myös näin:

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n)^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}$

Tangentin käänteisfunktio

Edelliset sarjat kehittyvät piitä kohti varsin hitaasti. Nopeammin kehittyviä tangentin käänteisfunktion, eli arkustangentin, ominaisuuteen perustuvia laskukaavoja:

Machinin kaava vuodelta 1706:

$\pi =16\operatorname {tan^{-1}} \left({\frac {1}{5}}\right)-4\operatorname {tan^{-1}} \left({\frac {1}{239}}\right)$

Lehmerin kaava vuodelta 1938:

$\pi =88\operatorname {tan^{-1}} \left({\frac {1}{28}}\right)+8\operatorname {tan^{-1}} \left({\frac {1}{443}}\right)-20\operatorname {tan^{-1}} \left({\frac {1}{1393}}\right)-40\operatorname {tan^{-1}} \left({\frac {1}{11018}}\right)$

Kahdessa edellisessä käytetään sarjakehitelmää

$\operatorname {tan^{-1}} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}x^{2k+1}$

Modulaarifunktio

Modulaarifunktioiden ominaisuuksiin perustuvia piin laskukaavoja alettiin suosia 1900-luvulla:

Ramanujanin hypergeometrisiin funktioihin perustuva modulaarinen kaava vuodelta 1914:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(26390k+1103)}{(4^{4k}k!^{4})99^{4k}}}$

Chudnovskien vuonna 1989 valmistama entistäkin nopeammin suppeneva modulaarikaava:

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{k!^{3}(3k)!(640320^{3})^{k+{\frac {1}{2}}}}}$

Iteraatioprosessi

Piin arvoa on selvitelty myös iteraatioprosessin kautta, eli laskemalla funktiolle arvo, ja käyttämällä saatua arvoa uudestaan samassa funktiossa.

Borweinin vuodelta 1989 tekemä iteraatio:
$y_{0}={\sqrt {2}}-1$
$y_{n}={\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-y_{n-1}^{4}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-y_{n-1}^{4}}}}}$
$a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$
$a_{n}=(1+y_{n})^{4}a_{n-1}-2^{2(n-1)+3}y_{n}\left(1+y_{n}+y_{n}^{2}\right)$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{\pi }}$

Bailey onnistui parantamaan jo huikeaa suppenemistahtia omalla iteraatiokaavallaan:
$y_{0}=5\left({\sqrt {5}}-2\right)$
$y_{n}=25/\left(\left(1+{\frac {2^{\frac {1}{5}}\beta }{\left(\beta \left(7+\alpha +{\sqrt {(7+\alpha )^{2}-4\beta ^{3}}}\right)\right)^{\frac {1}{5}}}}+{\frac {\left(\beta \left(7+\alpha +{\sqrt {(7+\alpha )^{2}-4\beta ^{3}}}\right)\right)^{\frac {1}{5}}}{2^{\frac {1}{5}}}}\right)^{2y_{n-1}}\right)$, jossa $\alpha =\left(2-{\frac {5}{y_{n-1}}}\right)^{2}$ ja $\beta =-1+{\frac {5}{y_{n-1}}}$
$a_{0}={\frac {1}{2}}$
$a_{n}=y_{n-1}^{2}a_{n-1}-5^{n-1}\left({\frac {1}{2}}\left(y_{n-1}^{2}-5\right)+{\sqrt {y_{n-1}(y_{n-1}^{2}-2y_{n-1}+5)}}\right)$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{\pi }}$

Bailey, Borwein ja Plouffe (Arkistoitu – Internet Archive) esittivät vuonna 1996 luvun $\pi$ laskemiseen kaavan:
$\pi =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)$.

Kaava sopii hyvin binäärijärjestelmää käyttävällä tietokoneella laskettavaksi. Sen avulla voidaan laskea suoraan haluttu numero piin esityksestä. Se on helppo toteuttaa (ei tarvita moninkertaisen tarkkuuden aritmetiikkaa). Suurta keskusmuistia ei myöskään tarvita. Suoritusaika riippuu lähes lineaarisesti haluttujen numeroiden lukumäärästä.

Monte Carlo -menetelmä (tulitikkukoe)

Matemaattisesti vaikeiden ja yleensä ehdottomasti tietokonepohjaisten kaavojen sijasta kukin voi itse havainnollistaa piin arvoa yksinkertaisella tulitikkukokeella. Siihen tarvitaan iso paperi, johon piirretään samansuuntaisia suoria sellaiselle etäisyydelle toisistaan, että tulitikku mahtuu juuri ja juuri olemaan poikittain suorien välissä koskematta kumpaakaan niistä. Tämä ei ole kuitenkaan välttämätöntä, kuten alla olevan kaavan tarkastelu osoittaa. Jos nimittäin suorien etäisyys on sama kuin tulitikun pituus supistuvat termit a ja c pois, muuten ne on otettava huomioon laskussa. Sitten pudotellaan mahdollisimman paljon tulitikkuja (huom. kaikkien tikkujen tulisi olla samanmittaisia) tarpeeksi korkealta paperille ja merkitään muistiin kaikki ne tikut, jotka leikkaavat jonkin paperille piirretyistä suorista. Muutaman tuhannen tikun jälkeen pii alkaa jo hahmottua ja se saadaan lasketuksi seuraavasta kaavasta:

$\pi \approx {\frac {2cN}{aM}}$, jossa

• c = tulitikun pituus
• a = suorien etäisyys toisistaan
• N = pudotettujen tulitikkujen määrä
• M = suoran leikkaavien tulitikkujen määrä.

Tapa on todennäköisyyslaskentaan ja geometriaan perustuvan Monte Carlo -menetelmän sovellus. Samaan tulokseen päästään piirtämällä neliön muotoiselle paperille harpilla ympyrä, ja pudottamalla sen päälle hiekanjyviä. Laskemalla kuinka suuri osuus hiekanjyvistä osuu ympyrän sisäpuolelle saadaan sen pinta-ala, josta voidaan laskea piin arvo.