Binäärijärjestelmä

Binääri	Desimaali
0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	10
1011	11
1100	12
1101	13
1110	14
1111	15

Binäärijärjestelmä, binaarijärjestelmä eli 2-järjestelmä on kantalukujärjestelmä, jonka kantaluku on kaksi. Toisin sanoen siinä on käytössä vain kaksi eri merkkiä lukujen esittämiseen. Tyypillisesti käytetyt symbolit ovat 0 ja 1. Binäärijärjestelmän toteuttaminen elektronisilla piireillä on suoraviivaista, ja tästä syystä muun muassa käytännössä kaikki nykyiset tietokoneet perustuvat siihen. Prosessoreissa ja muissa digitaalipiireissä nolla ja yksi esitetään usein kahtena eri jännitetasona.

Yleisessä kymmenjärjestelmässä on binäärijärjestelmästä poiketen käytössä kymmenen eri numeroa, eli symbolit 0:sta 9:ään. Kaikkien ykköstä suurempien lukujen binääriesitys vaatii siten enemmän merkkejä kuin vastaava esitys kymmenjärjestelmässä. Esimerkiksi luku 2 on binääriesityksenä ”10” ja luku 6 on ”110”. Luvun 999 esittämiseen binäärijärjestelmässä tarvitaan kymmenen binäärinumeroa (eli bittiä): ”1111100111”.

Esimerkiksi luvun 6 binääriesitys on kahden potensseiksi aukikirjoitettuna seuraava: $1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=4+2+0$. Laskutoimitukset tapahtuvat kuten kymmenjärjestelmässä. Täytyy vain muistaa, että esimerkiksi $1+1=10$ (eikä 2).

Binäärilukujen pituuden vuoksi niiden kanssa paljon tekemisissä olevat ihmiset käyttävät usein tiiviimpää oktaali- tai heksadesimaali-merkintää. Muunnos binääristä oktaali- tai heksadesimaaliluvuksi on helppoa: binääriluvut ryhmitellään oikealta alkaen kolmen (oktaali) tai neljän (heksadesimaali) bitin ryhmiin, ja kukin ryhmä muutetaan vastaavaksi kahdeksan- tai 16-kantaiseksi luvuksi. Luku voidaan muuttaa desimaalijärjestelmästä binäärijärjestelmään jakamalla aina kahdella niin kauan kun luku on ykköstä suurempi. Kahdella jaon jakojäännös määrittää kyseisen numeron. Binäärilukuja voidaan laskea myös kymmenjärjestelmän avulla myös niin, että kun luku on jaollinen kahdella kasvatetaan toista numeroa, kun luku on jaollinen neljällä kasvatetaan kolmatta numeroa ja niin edelleen.

Murtoluvut

Murtolukujen vertailua kymmen- ja binäärijärjestelmissä

Murtoluku	Kymmenjärjestelmä	Binäärijärjestelmä
1:2	$0{,}5$	$0{,}1$
1:3	$0{,}{\overline {3}}$	$0{,}{\overline {01}}$
1:4	$0{,}25$	$0{,}01$
1:5	$0{,}2$	$0{,}{\overline {0011}}$
1:6	$0{,}1{\overline {6}}$	$0{,}0{\overline {01}}$
1:7	$0{,}{\overline {142857}}$	$0{,}{\overline {001}}$
1:8	$0{,}125$	$0{,}001$
1:9	$0{,}{\overline {1}}$	$0{,}{\overline {000111}}$
1:10	$0{,}1$	$0{,}0{\overline {0011}}$
1:11	$0{,}{\overline {09}}$	$0{,}{\overline {0001011101}}$
1:12	$0{,}08{\overline {3}}$	$0{,}00{\overline {01}}$
1:13	$0{,}{\overline {076923}}$	$0{,}{\overline {000100111011}}$
1:14	$0{,}0{\overline {714285}}$	$0{,}0{\overline {001}}$
1:15	$0{,}0{\overline {6}}$	$0{,}{\overline {0001}}$
1:16	$0{,}0625$	$0{,}0001$

Katso myös

• Bitti
• Digitaalisuus
• Kahden potenssit
• Kahden komplementti
• Liukuluku

Lähteet

• Jaakohuhta, Hannu: Tietotekniikan sanakirja. Helsinki: Readme.fi, 2011. ISBN 978-952-220-456-1 (suomeksi)(englanniksi)
• Kneusel, Ronald T.: Numbers and Computers, s. 8-16. Springer, 2017. ISBN 978-3-319-17260-6 (englanniksi)

Viitteet

Numerojärjestelmät ja Lukujärjestelmät

kulttuurin mukaan	arabialainen armenialainen babylonialainen heprealainen kiinalainen kreikkalainen mayalainen roomalainen
kantaluvun mukaan	binääri- senaari- oktaali- kymmen- (desimaali-) duodesimaali- heksadesimaali- vigesimaali- seksagesimaalijärjestelmä