Kahden potenssit

Matematiikassa kahden potenssi on mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, joka saadaan korottamalla luku kaksi johonkin potenssiin; toisin sanoen luku kaksi kerrottuna itsellään tietty määrä kertoja. Myös luku 1 on kahden potenssi, sillä se saadaan korottamalla kaksi potenssiin nolla. Binäärijärjestelmässä kahden potenssit ovat aina muotoa 100000...0, samoin kuin kymmenen potenssit kymmenjärjestelmässä.

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren numeron binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää 2⁸=256 lukua eli luvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu.

Tietokoneiden muistia mitataan usein kahden potensseilla. Tavu on kahdeksan (2³) bittiä. Usein käytetään tavun kerrannaisia, jotka ovat kahden potensseja, kuten kibitavu (1 024 = 2¹⁰ tavua) ja mebitavu (1 048 576 = 2²⁰ tavua). Koska 1 024 on noin tuhat, on 1 024:ää tavua perinteisesti tietotekniikassa kutsuttu kilotavuksi ja vastaavasti 1 048 576:ta tavua megatavuksi. Tämä voi kuitenkin aiheuttaa sekaannuksia, ja siksi näille kahden potensseille eli ”binäärisille” kerrannaisille on sittemmin ehdotettu nimityksiä kibi ja mebi. Myös lähes kaikki suorittimien rekisterien koot ovat kahden potensseja, joista 64 bittiä on tällä hetkellä yleisin.

Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Kiintolevyissä sektorien ja lohkojen koot ovat yleensä kahden potensseja.

Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi usein käytetty resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.

Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen luvuksi. Esimerkiksi numero 31 on Mersennen luku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka taas on puolestaan kahden potenssi (2⁵).

Ensimmäiset 40 kahden potenssia

21	=	2		211	=	2 048		221	=	2 097 152		231	=	2 147 483 648
22	=	4		212	=	4 096		222	=	4 194 304		232	=	4 294 967 296
23	=	8		213	=	8 192		223	=	8 388 608		233	=	8 589 934 592
24	=	16		214	=	16 384		224	=	16 777 216		234	=	17 179 869 184
25	=	32		215	=	32 768		225	=	33 554 432		235	=	34 359 738 368
26	=	64		216	=	65 536		226	=	67 108 864		236	=	68 719 476 736
27	=	128		217	=	131 072		227	=	134 217 728		237	=	137 438 953 472
28	=	256		218	=	262 144		228	=	268 435 456		238	=	274 877 906 944
29	=	512		219	=	524 288		229	=	536 870 912		239	=	549 755 813 888
210	=	1 024		220	=	1 048 576		230	=	1 073 741 824		240	=	1 099 511 627 776

Kahden potenssit, joissa eksponentti on myös kahden potenssi

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:

2¹ = 2

2² = 4

2⁴ = 16

2⁸ = 256

2¹⁶ = 65 536

2³² = 4 294 967 296

2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616

2¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko numero kahden potenssi

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi:

x on kahden potenssi $\Leftrightarrow$ (x & (x-1)) on yhtä kuin nolla

jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.

Esimerkkejä:

-1	=	1...111...1		-1	=	1...111...111...1
x	=	0...010...0		y	=	0...010...010...0
x-1	=	0...001...1		y-1	=	0...010...001...1
x & (x-1)	=	0...000...0		y & (y-1)	=	0...010...000...0