Kahden potenssit

Matematiikassa kahden potenssi on mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, joka saadaan korottamalla luku kaksi johonkin kokonaisluvulla ilmaistuun potenssiin, toisin sanoen luku kaksi kerrottuna itsellään tietty määrä kertoja. Myös luku 1 on kahden potenssi, sillä se saadaan korottamalla kaksi potenssiin nolla. Binäärijärjestelmässä kahden potenssit ovat aina muotoa 100000...0, samoin kuin kymmenen potenssit kymmenjärjestelmässä. Kahden potensseilla on keskeinen asema tietotekniikassa mutta myös useissa puhtaasti matemaattisissa yhteyksissä. Lisäksi niiden käänteisluvuilla on huomattava merkitys nuottikirjoituksessa.

Ensimmäiset 36 kahden potenssiaMuokkaa

21 = 2 213 = 8 192 225 = 33 554 432
22 = 4 214 = 16 384 226 = 67 108 864
23 = 8 215 = 32 768 227 = 134 217 728
24 = 16 216 = 65 536 228 = 268 435 456
25 = 32 217 = 131 072 229 = 536 870 912
26 = 64 218 = 262 144 230 = 1 073 741 824
27 = 128 219 = 524 288 231 = 2 147 483 648
28 = 256 220 = 1 048 576 232 = 4 294 967 296
29 = 512 221 = 2 097 152 233 = 8 589 934 592
210 = 1 024 222 = 4 194 304 234 = 17 179 869 184
211 = 2 048 223 = 8 388 608 235 = 34 359 738 368
212 = 4 096 224 = 16 777 216 236 = 68 719 476 736

Matemaattisia ominaisuuksiaMuokkaa

Pascalin kolmiossa kullakin rivillä olevien lukujen summa on kahden potenssi.

Jokaisella äärellisellä joukolla, jossa on n alkiota, on 2n osajoukkoa, alkuperäinen joukko ja tyhjä joukko mukaan luettuina.[1] Näiden osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä sanotaan alkuperäisen joukon potenssijoukoksi.[2]

n-ulotteisessa hyperkuutiossa on 2n särmää.

Kahden potenssit ovat ainoat tunnetut lähes täydelliset luvut, toisin sanoen niiden lukujen summa, joilla ne ovat jaolliset, on yhtä pienempi kuin kyseinen luku. Ei tiedetä, onko niiden lisäksi olemassa muitakin lähes täydellisiä lukuja.[3]

Kahden potenssien käänteisluvut muodostavat geometrisen sarjan, jonka summa on 1. Toisin sanoen:   = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1.

Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen alkuluvuksi. Esimerkiksi numero 31 on Mersennen alkuluku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka taas on puolestaan kahden potenssi (25).

Reaalinen polynomi an + bn on jaoton, jos ja vain jos n on kahden potenssi. (Jos n on pariton, niin an + bn on jaollinen binomilla a+n, ja jos n on parillinen mutta ei kahden potenssi, voidaan n esittää tulona n=mp, missä m on pariton, ja näin ollen  , joka on jaollinen binomilla ap + bp.)[4]

Sitä vastoin kompleksialueessa polynomi   (missä n≥1) voidaan aina jakaa seuraaviin tekijöihin:  , silloinkin kun n on kahden potenssi.

Kahden potenssit tietotekniikassaMuokkaa

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren numeron binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää 28=256 lukua eli luvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu, jota kutsutaan myös nimellä oktetti.

Tietokoneiden muistia mitataan usein kahden potensseilla. Usein käytetään tavun kerrannaisia, jotka ovat kahden potensseja, kuten kibitavu (1 024 = 210 tavua) ja mebitavu (1 048 576 = 220 tavua). Koska 1 024 on noin tuhat, on 1 024:ää tavua perinteisesti tietotekniikassa kutsuttu kilotavuksi ja vastaavasti 1 048 576:ta tavua megatavuksi. Tämä voi kuitenkin aiheuttaa sekaannuksia, ja siksi näille kahden potensseille eli ”binäärisille” kerrannaisille on sittemmin ehdotettu nimityksiä kibi ja mebi.[5] Nykyään myös suorittimien rekisterien koot ovat tyypillisesti kahden potensseja kuten 64 bittiä.

Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Kiintolevyissä sektorien ja lohkojen koot ovat yleensä kahden potensseja.

Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi usein käytetty resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.

Kahden potenssit, joissa eksponentti on myös kahden potenssiMuokkaa

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:

21 = 2
22 = 4
24 = 16
28 = 256
216 = 65 536
232 = 4 294 967 296
264 = 18 446 744 073 709 551 616
2128 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko numero kahden potenssiMuokkaa

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi:

x on kahden potenssi   (x & (x-1)) on yhtä kuin nolla

jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.

Esimerkkejä:

-1 = 1...111...1 -1 = 1...111...111...1
x = 0...010...0 y = 0...010...010...0
x-1 = 0...001...1 y-1 = 0...010...001...1
x & (x-1) = 0...000...0 y & (y-1) = 0...010...000...0

Kahden potenssit musiikin teoriassa ja nuottikirjoituksessaMuokkaa

Nuottikirjoituksesssa sävelen kesto osoitetetaan eri muotoisilla nuoteilla. Sellaisenaan kaikki nuotit vastaavat kestoa, joka on kokonuottia vastaava kesto jaettuna jollakin kahden potenssilla; tällaisia ovat siis puolinuotti, neljäsosanuotti, kahdeksasosanuotti, kuudestoistaosanuotti jne. Näistä poikkeavat aika-arvot osoitetaan lisämerkinnöillä, esimerkiksi lisäämällä nuotin jälkeen piste, joka pidentää sen keston 1  1/2 -kertaiseksi, tai käyttämällä trioli-, kvintoli- tai muuta vastaavaa merkintää.[6] Tahtiosoituksissa alempana lukuna, nimittäjänä, joka osoittaa tahtiosuuden pituuden, käytetään lähes yksinomaan kahden potensseja; osoittaja, joka osoittaa tahtiosuuksien lukumäärän tahdissa, sen sijaan voi olla muukin luku, usein esimerkiksi 3 tai 6.

Kahden sävelen taajuuksien suhde on kahden potenssi, jos ja vain jos niiden välinen intervalli on täysiä oktaavia. Tässä tapauksessa sävelillä on sama nimi, mutta ne kuuluvat eri oktaavialoihin.[7]

LähteetMuokkaa

  1. Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino: ”Kombinaatiot”, Matematiikka 10, s. 31. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0247-4.
  2. ”Potenssijoukko”, Johdatus toennäköisyyslaskentaan: Joukko-oppi, s. 107. Teknillinen korkeakoulu, 2005. Teoksen verkkoversio.
  3. Almost Perfect Number Wolfram MathWorld. Viitattu 4.3.2022.
  4. K. Väisälä: ”Polynomin jako tekijöihin”, Algebran oppi- ja esimerkkikirja 1, s. 60. WSOY, 1970.
  5. Prefixes for binary multiples physics.nist.gov. Viitattu 13.8.2019.
  6. ”Nuottikirjoitus”, Otavan iso musiikkitietosanakirja, 4. osa (Laulu–Rantasalo), s. 457. Otava, 1978. ISBN 951-07463-9.
  7. ”Oktaavi”, Otavan iso musiikkitietosanakirja, 4. osa (Laulu–Rantasalo), s. 479–480. Otava, 1978. ISBN 951-07463-9.