Kahden potenssit

Matematiikassa kahden potenssi on mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, joka saadaan korottamalla luku kaksi johonkin kokonaisluvulla ilmaistuun potenssiin, toisin sanoen luku kaksi kerrottuna itsellään tietty määrä kertoja. Myös luku 1 on kahden potenssi, sillä se saadaan korottamalla kaksi potenssiin nolla. Binäärijärjestelmässä kahden potenssit ovat aina muotoa 1000…0, samoin kuin kymmenen potenssit kymmenjärjestelmässä. Kahden potensseilla on keskeinen asema tietotekniikassa mutta myös useissa puhtaasti matemaattisissa yhteyksissä. Lisäksi niiden käänteisluvuilla on huomattava merkitys nuottikirjoituksessa.

Ensimmäiset 36 kahden potenssia

2¹ =	2	2¹³ =	8 192	2²⁵ =	33 554 432
2² =	4	2¹⁴ =	16 384	2²⁶ =	67 108 864
2³ =	8	2¹⁵ =	32 768	2²⁷ =	134 217 728
2⁴ =	16	2¹⁶ =	65 536	2²⁸ =	268 435 456
2⁵ =	32	2¹⁷ =	131 072	2²⁹ =	536 870 912
2⁶ =	64	2¹⁸ =	262 144	2³⁰ =	1 073 741 824
2⁷ =	128	2¹⁹ =	524 288	2³¹ =	2 147 483 648
2⁸ =	256	2²⁰ =	1 048 576	2³² =	4 294 967 296
2⁹ =	512	2²¹ =	2 097 152	2³³ =	8 589 934 592
2¹⁰ =	1 024	2²² =	4 194 304	2³⁴ =	17 179 869 184
2¹¹ =	2 048	2²³ =	8 388 608	2³⁵ =	34 359 738 368
2¹² =	4 096	2²⁴ =	16 777 216	2³⁶ =	68 719 476 736

Matemaattisia ominaisuuksia

Pascalin kolmiossa kullakin rivillä olevien lukujen summa on kahden potenssi.

Jokaisella äärellisellä joukolla, jossa on n alkiota, on 2ⁿ osajoukkoa, alkuperäinen joukko ja tyhjä joukko mukaan luettuina.^[1] Näiden osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä sanotaan alkuperäisen joukon potenssijoukoksi.^[2]

n-ulotteisessa hyperkuutiossa on 2ⁿ särmää.

Kahden potenssit ovat ainoat tunnetut lähes täydelliset luvut, toisin sanoen niiden lukujen summa, joilla ne ovat jaolliset, on yhtä pienempi kuin kyseinen luku. Ei tiedetä, onko niiden lisäksi olemassa muitakin lähes täydellisiä lukuja.^[3]

Kahden potenssien käänteisluvut muodostavat geometrisen sarjan, jonka summa on 1. Toisin sanoen:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots =1.

Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen alkuluvuksi. Esimerkiksi luku 31 on Mersennen alkuluku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka on puolestaan kahden potenssi (2⁵).

Reaalinen polynomi $a^{n}+b^{n}$ on jaoton, jos ja vain jos n on kahden potenssi. (Jos n on pariton, niin $a^{n}+b^{n}$ on jaollinen binomilla $a+n$ , ja jos n on parillinen mutta ei kahden potenssi, voidaan n esittää tulona $n=mp$ , missä m on pariton, ja näin ollen $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ , joka on jaollinen binomilla $a^{p}+b^{p}$ .)^[4]

Sitä vastoin kompleksialueessa polynomi $a^{2n}+b^{2n}$ (missä $n\geq 1$ ) voidaan aina jakaa seuraaviin tekijöihin: $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ , silloinkin kun n on kahden potenssi.

Kahden potenssit tietotekniikassa

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren luvun binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää $2^{8}=256$ lukua eli esimerkiksi kokonaisluvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu, jota kutsutaan myös nimellä oktetti.

Tietokoneiden muistia mitataan usein kahden potensseilla. Usein käytetään tavun kerrannaisia, jotka ovat kahden potensseja, kuten kibitavu ( $1\ 024=2^{10}$ tavua) ja mebitavu ( $1\ 048\ 576=2^{20}$ tavua). Koska 1 024 on noin tuhat, on 1 024 tavua perinteisesti tietotekniikassa kutsuttu kilotavuksi ja vastaavasti 1 048 576 tavua megatavuksi. Tämä voi kuitenkin aiheuttaa sekaannuksia, ja siksi näille kahden potensseille eli ”binäärisille” kerrannaisille on sittemmin ehdotettu nimityksiä kibi ja mebi.^[5] Nykyään myös suorittimien rekisterien koot ovat tyypillisesti kahden potensseja kuten 64 bittiä.

Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Kiintolevyissä sektorien ja lohkojen koot ovat yleensä kahden potensseja.

Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi takavuosina yleinen resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.

Kahden potenssit, joissa eksponentti on myös kahden potenssi

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:

2¹ =	2
2² =	4
2⁴ =	16
2⁸ =	256
2¹⁶ =	65 536
2³² =	4 294 967 296
2⁶⁴ =	18 446 744 073 709 551 616
2¹²⁸ =	340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456
2²⁵⁶ =	115 792 089 237 316 195 423 570...039 457 584 007 913 129 639 936 (77 numeroa)

Valittujen kahden potenssien ominaisuuksia

2¹⁰ = 1024: Binääriapproksimaatio kilo-etuliitteestä: 1 024 tavua on yksi kilotavu.
2¹⁶ = 65 536: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 2^2⁴. Lisäksi 2^{2^2²}, ja tetraatiossa ⁴2.
2²⁰ = 1 048 576: Binääriapproksimaatio mega-etuliitteestä: 1 048 576 tavua on yksi megatavu.
2²⁴ = 16 777 216: HTML-värikoodien määrä.
2³⁰ = 1 073 741 824: Binääriapproksimaatio giga-etuliitteestä: 1 073 741 824 tavua on yksi gigatavu.
2³² = 4 294 967 296: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 2^2⁵. IPv4-pohjaisten IP-osoitteiden määrä.
2⁴⁰ = 1 099 511 627 776: Binääriapproksimaatio tera-etuliitteestä: 1 099 511 627 776 tavua on yksi teratavu.
2⁴⁶ = 70 368 744 177 664: Pienin kahden potenssi, jonka ensimmäinen numero on 7.
2⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624: Binääriapproksimaatio peta-etuliitteestä: 1 125 899 906 842 624 tavua on yksi petatavu.
2⁵³ = 9 007 199 254 740 992: Pienin kahden potenssi, jonka ensimmäinen numero on 9.
2⁶⁰ = 1 152 921 504 606 846 976: Binääriapproksimaatio eksa-etuliitteestä: 1 152 921 504 606 846 976 tavua on yksi eksatavu.
2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 2^2⁶.
2⁶⁸ = 295 147 905 179 352 825 856: Pienin kahden potenssi, joka sisältää kaikki kymmenjärjestelmän numerot. ^[6]
2⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424: Binääriapproksimaatio tsetta-etuliitteestä: 1 180 591 620 717 411 303 424 tavua on yksi tsettatavu.
2⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176: Binääriapproksimaatio jotta-etuliitteestä: 1 208 925 819 614 629 174 706 176 tavua on yksi jottatavu.
2¹⁰⁸ = 324 518 553 658 426 726 783 156 020 576 256: Suurin kahden potenssi, jossa ei esiinny numeroa 9. ^[7]
2¹²⁶ = 85 070 591 730 234 615 865 843 651 857 942 052 864: Suurin kahden potenssi, jossa ei esiinny kahta samaa numeroa peräkkäin. ^[8]
2¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: Suurin kahden potenssi, joka ei sisällä kaikkia kymmnenjärjestelmän numeroita (numero 2 puuttuu).^[9]

Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko luku kahden potenssi

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi tai nolla:^[10]

x on kahden potenssi tai nolla $\Leftrightarrow$ (x & (x − 1)) on yhtä kuin nolla

jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.

Esimerkkejä

x on kahden potenssi (tai nolla):

−1 =	1…111…1
x =	0…010…0
x − 1 =	0…001…1
x & (x − 1) =	0…000…0

y ei ole kahden potenssi (eikä nolla):

−1 =	1…111…111…1
y =	0…010…010…0
y − 1 =	0…010…001…1
y & (y − 1) =	0…010…000…0

Kahden potenssit musiikin teoriassa ja nuottikirjoituksessa

Nuottikirjoituksessa sävelen kesto osoitetaan erimuotoisilla nuoteilla. Sellaisenaan kaikki nuotit vastaavat kestoa, joka on kokonuottia vastaava kesto jaettuna jollakin kahden potenssilla; tällaisia ovat siis puolinuotti, neljäsosanuotti, kahdeksasosanuotti, kuudestoistaosanuotti jne. Näistä poikkeavat aika-arvot osoitetaan lisämerkinnöillä, esimerkiksi lisäämällä nuotin jälkeen piste, joka pidentää sen keston 1 1/2 -kertaiseksi, tai käyttämällä trioli-, kvintoli- tai muuta vastaavaa merkintää.^[11] Tahtiosoituksissa alempana lukuna, nimittäjänä, joka osoittaa tahtiosuuden pituuden, käytetään lähes yksinomaan kahden potensseja; osoittaja, joka osoittaa tahtiosuuksien lukumäärän tahdissa, sen sijaan voi olla muukin luku, usein esimerkiksi 3 tai 6.

Kahden sävelen taajuuksien suhde on kahden potenssi, jos ja vain jos niiden välinen intervalli on täysiä oktaaveja. Tässä tapauksessa sävelillä on sama nimi mutta ne kuuluvat eri oktaavialoihin.^[12]

Lähteet

↑ Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino: ”Kombinaatiot”, Matematiikka 10, s. 31. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0247-4
↑ ”Potenssijoukko”, Johdatus toennäköisyyslaskentaan: Joukko-oppi, s. 107. Teknillinen korkeakoulu, 2005. Teoksen verkkoversio.
↑ Almost Perfect Number Wolfram MathWorld. Viitattu 4.3.2022.
↑ K. Väisälä: ”Polynomin jako tekijöihin”, Algebran oppi- ja esimerkkikirja 1, s. 60. WSOY, 1970.
↑ Prefixes for binary multiples physics.nist.gov. Viitattu 13.8.2019.
↑ A137214 OEIS-tietokannassa
↑ A035064 OEIS-tietokannassa
↑ A050723 OEIS-tietokannassa
↑ A137214 OEIS-tietokannassa
↑ https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#DetermineIfPowerOf2
↑ ”Nuottikirjoitus”, Otavan iso musiikkitietosanakirja, 4. osa (Laulu–Rantasalo), s. 457. Otava, 1978. ISBN 951-1-04763-9
↑ ”Oktaavi”, Otavan iso musiikkitietosanakirja, 4. osa (Laulu–Rantasalo), s. 479–480. Otava, 1978. ISBN 951-1-04763-9

[1] Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino: ”Kombinaatiot”, Matematiikka 10, s. 31. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0247-4

[2] ”Potenssijoukko”, Johdatus toennäköisyyslaskentaan: Joukko-oppi, s. 107. Teknillinen korkeakoulu, 2005. Teoksen verkkoversio.

[3] Almost Perfect Number Wolfram MathWorld. Viitattu 4.3.2022.

[4] K. Väisälä: ”Polynomin jako tekijöihin”, Algebran oppi- ja esimerkkikirja 1, s. 60. WSOY, 1970.

[5] Prefixes for binary multiples physics.nist.gov. Viitattu 13.8.2019.

[6] A137214 OEIS-tietokannassa

[7] A035064 OEIS-tietokannassa

[8] A050723 OEIS-tietokannassa

[9] A137214 OEIS-tietokannassa

[10] ttps://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#DetermineIfPowerOf2

[11] ”Nuottikirjoitus”, Otavan iso musiikkitietosanakirja, 4. osa (Laulu–Rantasalo), s. 457. Otava, 1978. ISBN 951-1-04763-9

[12] ”Oktaavi”, Otavan iso musiikkitietosanakirja, 4. osa (Laulu–Rantasalo), s. 479–480. Otava, 1978. ISBN 951-1-04763-9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]