Avaa päävalikko

Senaarijärjestelmä (kuusijärjestelmä) on lukujärjestelmä, jonka kantaluku on 6. Lukujen esittämiseen käytetään numeroita 0–5. Kuusijärjestelmän lukuja merkitään alaindeksillä 6.

Senaarijärjestelmän pieni kertotaulu
1 2 3 4 5 10
2 4 10 12 14 20
3 10 13 20 23 30
4 12 20 24 32 40
5 14 23 32 41 50
10 20 30 40 50 100

Alkuluvut senaarijärjestelmässäMuokkaa

Kuusijärjestelmää sopii hyvin esimerkiksi alkulukujen tutkimiseen, koska kaikki alkuluvut, paitsi luvut 2 ja 3, päättyvät järjestelmässä joko numeroon 1 tai 5. Toisin sanoen, jos p on alkuluku, niin p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6).

Yllä oleva ominaisuus todistetaan kongruenssin ominaisuuksien perusteella. Nimittäin jos xa (mod n), niin x = k n + a, missä x, a, k, n ovat tiettyjä kokonaislukuja.

Tarkastellaan nyt alkulukua p modulo 6.

Ensinnäkin p ei ole parillinen. Näin ollen mikään ehdoista p ≡ 0 (mod 6), p ≡ 2 (mod 6) tai p ≡ 4 (mod 6) ei ole voimassa, koska muuten voisi esimerkiksi olla p = 6k + 4 = 2(3k + 2) jollain kokonaisluvulla k osittelulain nojalla.

Toisaalta tiedetään esimerkeistä, että on olemassa alkulukuja, jotka toteuttavat joko yhtälön p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6). Riittää siis tarkastella vielä tapausta p ≡ 3 (mod 6).

Jos p ≡ 3 (mod 6), niin p = 6k + 3 = 3(2k + 1) jollain k, jälleen osittelulain perusteella. Toisin sanoen, on olemassa alkuluku p, joka on jaollinen luvulla 3, joten p ei ole alkuluku. Tämä on ristiriita, joten oletuksen p ≡ 3 (mod 6) täytyy olla väärä ja alkuperäinen väite tosi. M.O.T.

Huomautettakoon, että kaikki senaarijärjestelmässä numeroihin 1 tai 5 päättyvät luvut eivät kuitenkaan ole alkulukuja. Esimerkiksi luku 25 = 416 on neliöluku, eikä siis alkuluku.

MurtoluvutMuokkaa

Murtolukujen vertailua kymmen- ja senaarijärjestelmissä
1:n Kymmenjärjestelmä Senaarijärjestelmä
1:2    
1:3    
1:4    
1:5    
1:6    
1:7    
1:8    
1:9    
1:10    
1:11    
1:12    
1:13    
1:14    
1:15    
1:16    
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.