Avaa päävalikko

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion f käänteisfunktiota merkitään f-1:llä. Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee f(f-1(x)) = f-1(f(x)) = x. Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita.[1]

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   funktio.  :n kuvajoukko   on kaikkien niiden alkioiden   joukko, joille   jolloin  . Jos   on injektio (ehdosta   aina seuraa  ) on mahdollista määritellä funktio   asettamalla  :ksi se  , jolle  . Täten   tulee toteuttamaan ehdon   kaikilla   ja   kaikilla  .

Funktiota   sanotaan funktion   käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla  . Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Jos funktio   on funktion   käänteisfunktio, on samalla myös   funktion   käänteisfunktio.

EsimerkkejäMuokkaa

Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon f funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon M perheenjäsenien nimien joukko ja I perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen

 
 
 
 

Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on f:n käänteisfunktio:

 
 

f:n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi.

ReaalifunktiotMuokkaa

Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion   käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla   yhtälöstä  . Esimerkiksi funktion  ,   käänteisfunktioksi saadaan näin  ,  .

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla   olisi käänteisfunktio,  :n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla  ,   ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa)  ,  , on käänteisfunktio  ,  .

EsimerkkejäMuokkaa

  • Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion   käänteis­funktio on juurifunktio  . Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio.
  • Eksponenttifunktion  käänteis­funktio on logaritmifunktio  .
  • Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi.

Käänteisfunktion derivaattaMuokkaa

Jos   ja   ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava

 .

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 229–230. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.