Jaksollinen funktio

Jaksollinen funktio on sellainen funktio, joka toistuu samanlaisena tietyn jakson välein. Jaksollisen funktion argumenttia kutsutaan vaiheeksi (engl. phase).

Hieman muodollisemmin ilmaistuna funktio on jaksollinen jos ja vain jos on olemassa reaaliluku $a\neq \ 0$ siten, että kaikilla funktion määrittelyjoukkoon kuuluvilla arvoilla $x$ on voimassa $f(x)=f(x+a)$. Tällöin funktion $f$ jakso on $a$ ja vaihe on $x-x_{0}$, jossa $x_{0}$ on vaiheen kiinteä vertailuarvo (vaihereferenssi).

Ominaisuuksia

Määritelmästä seuraa suoraan, että jaksolliselle funktiolle ei ole olemassa yksikäsitteistä käänteisfunktiota.

Jaksollinen funktio voidaan esittää Fourier'n sarjana.

Jaksollisten funktioiden summa on myös jaksollinen siten, että summafunktion jakso on summattavien funktioiden jaksojen pienin yhteinen jaettava. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää hyväksi esimerkiksi muodostettaessa pitkäjaksoisia digitaalisia signaaleja siten, että valitaan summattavien signaalien jaksot alkuluvuista.

Esimerkkejä

1. Esimerkiksi trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti ovat kaikki jaksollisia ja jatkuvia. Jaksollinen funktio ei välttämättä kuitenkaan ole jatkuva: esimerkiksi funktio $f(x)={\begin{cases}1&{\textrm {,\ kun\ }}x\in \mathbb {Q} \\0&{\textrm {,\ kun\ }}x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}$ on matemaattisesti jaksollinen, mutta ei ole jatkuva missään.

2. Fysiikassa jaksolliselta suureelta vaaditaan lisäksi että jaksonpituus on vakio tai se muuttuu hyvin hitaasti itse funktioon verrattuna. Yleensä fysiikan jaksollisia funktioita kuvataan eksponenttifunktiolla kompleksitasossa.

Jakson pituudesta käytetään fysiikan aaltoliikeopissa myös nimityksiä aallonpituus ja jaksonaika.

3. Kuten edellä on todettu, summattaessa jaksollisia lukujonoja tai signaaleja saadaan lopputulos, joka on myös jaksollinen. Esim. summattaessa kaksi binääristä jonoa, joiden jaksonpituudet ovat kaksi ja kolme saadaan summa, jonka jaksonpituus on
2 × 3 = 6:

101010|101010|1...

100100|100100|1...

201110|201110|2...

Summattaessa kolme jonoa, joiden jaksonpituudet ovat kaksi, kolme ja neljä, saadaan:

101010101010|10101...

100100100100|10010...

100010001000|10001...

301120202110|30112...

Nyt havaitaan, että summan jakso ei ole 2 × 3 × 4, vaan 3 × 4 = 12, koska jaksonpituus neljä on jaollinen allemmalla jaksolla kaksi.

Edellisestä voidaan päätellä, että pitkäjaksoisen jonon laatimisessa kannattaa käyttää hyväksi alkulukuja. Esim. kun yksittäisten jonojen jaksot ovat 2, 3 ja 5, niin jonojen summan jaksonpituus on 2 × 3 × 5 = 30:

101010101010101010101010101010|1010...

100100100100100100100100100100|1001...

100001000010000100001000010000|1000...

301111201110201210202110211110|3011...

Käyttämällä kymmentä ensimmäistä alkulukua saadaan jaksonpituudeksi jo 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 =
6 469 693 230.