Jaksollinen funktio

Jaksollinen funktio on sellainen funktio, joka toistuu samanlaisena tietyn jakson välein. Jaksollisen funktion argumenttia kutsutaan vaiheeksi (engl. phase).

Hieman muodollisemmin ilmaistuna funktio on jaksollinen jos ja vain jos on olemassa reaaliluku siten, että kaikilla funktion määrittelyjoukkoon kuuluvilla arvoilla on voimassa . Tällöin funktion jakso on ja vaihe on , jossa on vaiheen kiinteä vertailuarvo (vaihereferenssi).

Ominaisuuksia

muokkaa

Määritelmästä seuraa suoraan, että jaksolliselle funktiolle ei ole olemassa yksikäsitteistä käänteisfunktiota.

Jaksollinen funktio voidaan esittää Fourier'n sarjana.

Jaksollisten funktioiden summa on myös jaksollinen siten, että summafunktion jakso on summattavien funktioiden jaksojen pienin yhteinen jaettava. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää hyväksi esimerkiksi muodostettaessa pitkäjaksoisia digitaalisia signaaleja siten, että valitaan summattavien signaalien jaksot alkuluvuista.

Esimerkkejä

muokkaa

Trigonometriset funktiot

muokkaa

Esimerkiksi trigonometriset funktiot sini ja kosini ovat jaksollisia ja myös jatkuvia.

Epäjatkuva jaksollinen funktio

muokkaa

Jaksollinen funktio ei välttämättä kuitenkaan ole jatkuva. Esimerkiksi tangenttifunktio   on jaksollinen (jakson pituus  ), mutta se ei ole jatkuva (esimerkiksi   on epäjatkuvuuskohta).[1]

Modulofunktio

muokkaa

Diskreettiargumenttiset funktiot muotoa

 ,

missä mod tarkoittaa modulo-operaatiota, ovat jaksollisia jakson pituuden ollessa N. Näitä funktioita käsitellään modulaarisessa aritmetiikassa.

Jaksollisten signaalien yhdistäminen

muokkaa

Kuten edellä on todettu, summattaessa jaksollisia lukujonoja tai signaaleja saadaan lopputulos, joka on myös jaksollinen. Esim. summattaessa kaksi binääristä jonoa, joiden jaksonpituudet ovat kaksi ja kolme saadaan summa, jonka jaksonpituus on
2 × 3 = 6:

101010|101010|1...
100100|100100|1...
201110|201110|2...

Summattaessa kolme jonoa, joiden jaksonpituudet ovat kaksi, kolme ja neljä, saadaan:

101010101010|10101...
100100100100|10010...
100010001000|10001...
301120202110|30112...

Nyt havaitaan, että summan jakso ei ole 2 × 3 × 4, vaan 3 × 4 = 12, koska jaksonpituus neljä on jaollinen allemmalla jaksolla kaksi.

Edellisestä voidaan päätellä, että pitkäjaksoisen jonon laatimisessa kannattaa käyttää hyväksi alkulukuja. Esim. kun yksittäisten jonojen jaksot ovat 2, 3 ja 5, niin jonojen summan jaksonpituus on 2 × 3 × 5 = 30:

101010101010101010101010101010|1010...
100100100100100100100100100100|1001...
100001000010000100001000010000|1000...
301111201110201210202110211110|3011...

Käyttämällä kymmentä ensimmäistä alkulukua saadaan jaksonpituudeksi jo 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 =
6 469 693 230.

Käyttö fysiikassa

muokkaa

Fysiikassa jaksolliselta suureelta vaaditaan lisäksi,selvennä että jaksonpituus on vakio tai se muuttuu hyvin hitaasti itse funktioon verrattuna.lähde?selvennä Fysiikan jaksollisia funktioita kuvataan usein eksponenttifunktiolla kompleksitasossa.

Jakson pituudesta käytetään fysiikan aaltoliikeopissa myös nimityksiä aallonpituus ja jaksonaika.

Lähteet

muokkaa
  1. Elise Hansen: What is a Periodic Function? 1. joulukuut 2020. Sciencing. Viitattu 31.12.2021. (englanniksi)
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.