Pienin yhteinen jaettava
Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava eli pienin yhteinen monikerta[1], p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit.
Formaalisti kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen jaettava, pyj(a,b) = m, on pienin sellainen luku, jota kohti on olemassa sellaiset luonnolliset luvut ja , että
- .
Siis jos
- ,
missä on i:s alkuluku ja jos ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti tai on nolla, saadaan pyj-kaavaksi
Esimerkki:
- Lukujen 18 ja 20 p.y.j.
- .
Huomaa, että ja , eli pyj on jaollinen luvuilla 18 ja 20. Lisäksi jos joku luku on jaollinen luvuilla 18 ja 20, se on jaollinen myös luvulla 180. Esimerkiksi 18 · 20 = 360 = 2 · 180
---
- Lukujen 26 ja 28 p.y.j.
---
- Pienintä yhteistä jaettavaa voidaan hyödyntää murtolukujen yhteenlaskussa.
Lasketaan ensin pyj(18,20) = 180. Lavennetaan tämän jälkeen murtoluvut samannimisiksi, eli että kummankin nimittäjä on 180. Kerroin saadaan jakamalla pyj nimittäjällä: 180/18=10, 180/20=9.
Voidaan osoittaa, että luonnollisille luvuille n ja p pätee:
Lähteet
muokkaa- Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 72. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)
Viitteet
muokkaa- ↑ Matematiikan verkkosanakirja - Matematiikkalehti Solmu matematiikkalehtisolmu.fi. Viitattu 9.11.2018.