Suurin yhteinen tekijä

matemaattinen lause

Matematiikassa kahden kokonaisluvun a ja b suurin yhteinen tekijä, merkitään syt(a, b) tai pelkästään (a, b), tarkoittaa suurinta sellaista lukua, joka jakaa molemmat luvut a ja b niin, että lopputulos on kokonaisluku.[1] Suurin yhteinen tekijä voidaan etsiä jakamalla tarkasteltavina olevat luvut alkutekijöihin. Tällöin lukujen suurin yhteinen tekijä saadaan ottamalla ne alkuluvut, jotka esiintyvät molempien lukujen alkutekijähajotelmassa korotettuna siihen potenssiin, joka on pienempi tämän kyseisen alkuluvun eksponentti lukujen alkutekijähajotelmissa. Suurin yhteinen tekijä on tällöin saatujen lukujen tulo. Siis jos

ja
,

jossa on i:s alkuluku, ja jos ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti tai on nolla, saadaan suurin yhteinen tekijä kaavasta

Suurin yhteinen tekijä voidaan löytää myös esimerkiksi Eukleideen algoritmin avulla.

Algebrallinen määritelmäMuokkaa

Algebrallisessa mielessä kokonaislukujen   suurimmalla yhteisellä tekijällä tarkoitetaan näiden lukujen virittämän kokonaislukujen renkaan ideaalin virittäjää.

Jos luvut   ovat kaikki nollia, niiden virittämä ideaali koostuu pelkästään luvusta  .

Kokonaislukujen rengas   on kommutatiivinen eli vaihdannainen rengas. Lisäksi se on kokonaisalue, toisin sanoen siinä ei ole nollasta eroavia nollanjakajia, ja edelleen niin sanottu pääideaalialue, toisin sanoen sen jokainen ideaali on yhden alkion virittämä.

Väite, että jokainen kokonaislukujen renkaan   äärellisesti viritetty ideaali on yhden alkion virittämä, voidaan todistaa seuraavasti:

Olkoon   kaikilla   kokonaislukujen   virittämä renkaan   ideaali. Olkoon   tämän ideaalin pienin positiivinen alkio ja  .

Helposti todetaan, että jokainen  :n monikerta sisältyy ideaaliin  .

Olkoon toisaalta   ideaalin   mielivaltainen alkio ja  , jossa  .

Tällöin  .

Siis   kuuluu ideaaliin  . Jos   on suurempi kuin nolla, saadaan ristiriita luvun   valinnan kanssa. Siis välttämättä jokainen ideaalin   alkio on luvun   monikerta.

Toisin sanoen lukujen   virittämä ideaali on sama, kuin ko. ideaalin pienimmän positiivisen alkion   virittämä ideaali. Tätä lukua   kutsutaan lukujen   suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi.

EsimerkkejäMuokkaa

  • Lukujen 12 ja 15 suurin yhteinen tekijä on 3. Tämä nähdään jakamalla luvut tekijöihin: 12 = 22 · 3 ja 15 = 3 · 5.
  • Lukujen 132 ja 222 suurin yhteinen tekijä syt(132,222) = 6, koska 132 = 22 · 3 · 11 ja 222 = 2 · 3 · 37.

Yksinkertainen käytännön esimerkkiMuokkaa

Olkoon tehtävänä peittää suorakaiteen muotoisen huoneen, jonka leveys a ja pituus b ovat kokonaislukuja, lattia mahdollisimman suurilla keskenään samankokoisilla neliön muotoisilla laatoilla. Miten laatan sivun pituus c on valittava?

Ratkaisun antaa lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä suoraan. Siis valitaan c=syt(a,b).

OminaisuuksiaMuokkaa

Käytännössä nopein tapa määrittää kahden luvun suurin yhteinen tekijä on käyttää Josef Steinin vuonna 1961 julkaisemaa binääristä algoritmia, mikäli lukujen alkutekijähajotelmaa ei tunneta.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

ViitteetMuokkaa

  1. a b Rosen, s. 53
  2. Rosen, s. 54

Aiheesta muuallaMuokkaa