Avaa päävalikko

Rengasta kutsutaan kokonaisalueeksi (engl. integral domain), jos on kommutatiivinen eikä :ssä ole nollanjakajia.[1] [2] Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat , missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki .

KarakteristikaMuokkaa

Alkion   monikerta on  , missä yhteenlaskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta   on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla n, kun a on nollasta poikkeava, niin jokaisella D:n alkiolla b tulo nb on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon a nollasta poikkeava kokonaisalueen D alkio ja olkoon D:n karakteristika n. Tällöin  , joten jos  , niin täytyy olla  , koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön  .

Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n,  .  . Tällöin   ja koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, on   tai  . Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan  . Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli  . Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.

Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen D karakteristika on nolla, on D:ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi kuntalaajennusten yhteydessä.

Äärelliset kokonaisalueetMuokkaa

Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on kunta. Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.

Tulos voidaan perustella seuraavasti:

Olkoon   äärellinen kokonaisalue,   kokonaisalueen   alkioiden lukumäärä ja   jokin sen nollasta eroava alkio. Olkoot   kokonaisalueen R erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot   ovat keskenään erisuuria. Jos nimittäin olisi   erisuurilla indeksien   ja   arvoilla, niin olisi  . Tällöin   ja   olisivat kokonaisalueen   nollasta eroavia nollanjakajia. Tämä on ristiriita. Alkiot   käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen   alkiot. Erityisesti   jollakin  . Alkio   on tällöin alkion   käänteisalkio.

LähteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 190. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
  2. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 197. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.