Avaa päävalikko
Sininen viiva kuvaa eksponenttifunktiota. Punainen viiva on Taylorin sarjan n+1 ensimmäisen termin summa, joka approksimoi eksponenttifunktiota.

Taylorin sarja tarkoittaa matematiikassa menetelmää, jossa approksimoidaan funktiota potenssisarjalla.[1] Taylorin sarja on yksinkertainen erikoistapaus potenssisarjasta. Funktion likiarvon laskemiseen on usein käytännöllistä käyttää Taylorin sarjaa, sillä sarjakehitelmästä saatavan approksimaation virhe on aina tarkasti tunnettu. Sarja on nimetty englantilaisen matemaatikon Brook Taylorin mukaan.[2]

Jos funktiota kuvaava Taylorin sarja suppenee jollakin välillä , funktio on analyyttinen kyseisellä välillä. Tällöin funktion arvo on sama kuin sarjan summan raja-arvo.

Matemaattinen esitystapaMuokkaa

Avoimella välillä   jatkuvasti derivoituva reaali- tai kompleksiarvoinen funktio f voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi

 .

Toisaalta tämä voidaan merkitä muodossa

  [3]

Yllä olevan sarjan kehitteli Brook Taylor. Erityisesti tilanteessa jossa   puhutaan Colin Maclaurinin mukaan nimetystä Maclaurinin sarjasta. Sen yleinen muoto on siis

 .

Eräiden funktioiden sarjakehitelmiäMuokkaa

Monille funktioille on mahdollista kirjoittaa Taylorin (usein nimenomaan Maclaurinin) sarja, joka kuvaa funktiota sitä tarkemmin, mitä enemmän termejä sarjakehitelmästä huomioidaan. Erityisesti sarjan raja-arvo, kun summaus suoritetaan nollasta äärettömään, vastaa täsmälleen annettua funktiota niillä x:n arvoilla, joilla se ylipäänsä suppenee. Eräitä tärkeitä sarjoja ovat (! tarkoittaa kertomaa)

 
 
 
  suppenee, kun -1 < x ≤ 1.
 , suppenee, kun -1 < x ≤ 1.
 
 
 

Monen muuttujan Taylorin sarjaMuokkaa

Useamman muuttujan funktiolle Taylorin sarjaksi saadaan

 

Taylorin polynomiMuokkaa

Jos Taylorin sarjasta

 

otetaan vain korkeintaan n-asteiset termit, saadaan Taylorin polynomi, jonka kertaluku on n:

 

Tämän polynomin aste on aina korkeintaan n, mutta esimerkiksi funktion sin x Taylorin polynomi kehityspisteenä origo kertalukua seitsemän olevan Taylorin polynomin aste on kuusi.

Jos Taylorin sarjan jäännösosa

 

voidaan todistaa riittävän pieneksi, voi Taylorin polynomia käyttää avoimella välillä jatkuvasti derivoituvien funktioiden approksimoimiseen polynomeilla.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Princeton Review ja David S. Kahn: Cracking the AP Calculus AB & BC exams, s. 286. The Princeton Review, 2004. ISBN 9780375763816. (englanniksi)
  2. Encyclopædia Britannican verkkoversio (hakusana Taylor series) britannica.com. Viitattu 23.3.2015.
  3. Richard Courant & Fritz John: ”5.4”, Introduction to Calculus and Analysis 1. Springer. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.