Avaa päävalikko

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä.

MääritelmäMuokkaa

Sarja   suppenee, jos sen osasummien jono   suppenee, ts. jos   s.e.  . Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

 

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseitaMuokkaa

Lause 1.Muokkaa

Jos   suppenee, niin  

Lause 2.Muokkaa

Suppenevalle sarjalle erotusta

 

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.Muokkaa

Suppenevalle sarjalle  

Lause 4.Muokkaa

Jos   ja  , sekä  , niin

 
 

Lause 5.Muokkaa

Jos sarja   suppenee ja sarja   hajaantuu, niin summasarja   hajaantuu. Jos molemmat sarjat   ja   hajaantuvat, niin niiden summasarja   voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoilleMuokkaa

Sarja   suppenee   kohti   s.e.

 

kaikilla   aina kun  

Itseisesti suppeneva sarjaMuokkaa

MääritelmäMuokkaa

sarja   suppenee itseisesti, jos sarja   suppenee.

Lause 7.Muokkaa

Jos   suppenee, niin   suppenee. Tällöin sarjoille pätee

 

LähteetMuokkaa

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2