Suppeneva sarja
Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä.
Määritelmä
muokkaaSarja suppenee, jos sen osasummien jono suppenee, ts. jos s.e. . Tällöin S on sarjan summa ja merkitään
Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita
muokkaaLause 1.
muokkaaJos suppenee, niin
Lause 2.
muokkaaSuppenevalle sarjalle erotusta
sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.
Lause 3.
muokkaaSuppenevalle sarjalle
Lause 4.
muokkaaJos ja , sekä , niin
Lause 5.
muokkaaJos sarja suppenee ja sarja hajaantuu, niin summasarja hajaantuu. Jos molemmat sarjat ja hajaantuvat, niin niiden summasarja voi joko a)supeta tai b)hajaantua.
Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille
muokkaaSarja suppenee kohti s.e.
kaikilla aina kun
Itseisesti suppeneva sarja
muokkaaMääritelmä
muokkaasarja suppenee itseisesti, jos sarja suppenee.
Lause 7.
muokkaaJos suppenee, niin suppenee. Tällöin sarjoille pätee
Lähteet
muokkaaLauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978
Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2